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文章目录

1. 写代码

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2. 写文案

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3. 写剧本

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4. 写歌诗

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5. 写报告

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这妥妥的翻译文，数据完全不对。

6. 查公式

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傅里叶变换的时域性质有如下几点：

对称性： $\mathcal{F}(f(t)) = \mathcal{F}(f(-t))^*$

循环卷积： $\mathcal{F}(f(t)\ast g(t)) = \mathcal{F}(f(t)) \cdot \mathcal{F}(g(t))$

时间平移： $\mathcal{F}(f(t-t_0)) = e^{-j2\pi f_0t_0} \mathcal{F}(f(t))$

时间拓展： $\mathcal{F}(\alpha f(t)) = \frac{1}{|\alpha|} \mathcal{F}(f(\frac{t}{\alpha}))$

时间反转： $\mathcal{F}(f(-t)) = \mathcal{F}(f(t))^*$

以上是傅里叶变换的时域性质，其中， $\mathcal{F}$ 表示傅里叶变换， $f (t)$ 和 $g (t)$ 是时域信号， $\ast$ 表示循环卷积， $^*$ 表示复共轭， $f_0$ 是信号的频率， $t_0$ 是时间平移量， $\alpha$ 是时间拓展量。
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设原始的两个高斯分布分别为 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，每个分布的平均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ ，标准差分别为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 。
那么两个高斯分布相加后的结果为：
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}}$ 通过简单的数学计算，得到这个结果的平均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 为：
$\mu = \frac{\mu_1\sigma_2^2 + \mu_2\sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$ $\sigma = \sqrt{\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$
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用 $f (t)$ 表示门函数，用 $g (t)$ 表示辛格函数，卷积的结果为： $(f*g)(t)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)d\tau$ 由于 $f (t)$ 是一个门函数，其具有以下形式： $f(t)=\begin{cases} 1, & t\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \ 0, & t\notin[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \end{cases}$ $g (t)$ 是一个辛格函数，其具有以下形式： $g(t)=\text{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ 代入卷积的结果中： $(f*g)(t)=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{\sin(\pi (t-\tau))}{\pi (t-\tau)}d\tau$ 因为 $\sin$ 函数的周期性，可以得到： $(f*g)(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{\sin(\pi t)}{t-\tau}d\tau$ 以上是卷积的结果，具体的数值可以用其他方法来计算，如变量变换或数学公式的计算。