动态系统的建模与分析

前言

CS小菜鸡控制理论入门
视频学习笔记
视频传送门：动态系统的建模与分析】9_一阶系统的频率响应_低通滤波器_Matlab/Simulink分析

拉普拉斯变换

F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t F(s)=L{ f(t)}=∫0∞​f(t)e−stdt，其中$s=\sigma +j\omega$

L { f ′ ( t ) } = s F ( s ) − f ( 0 ) \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0) L{ f′(t)}=sF(s)−f(0)

L { f ′ ′ ( t ) } = s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0) L{ f′′(t)}=s2F(s)−sf(0)−f′(0)

L { ∫ 0 t f ( τ ) d ( τ ) } = 1 s F ( s ) \mathcal{L}\{\int_0^t f(\tau)d(\tau)\}=\frac{1}{s}F(s) L{ ∫0t​f(τ)d(τ)}=s1​F(s)

一个电路例子：

$e^{\prime }=L{i}^{\prime \prime }+R{i}^{\prime }+\frac{1}{c}i$

$sE(s)=L{s}^{2}I(s)+RsI(s)+\frac{1}{c}I(s)$

$sE(s)=(L{s}^2+Rs+\frac{1}{c})I(s)$

$I(s)=\frac{s}{L{s}^2+Rs+\frac{1}{c}}E(s)$

常系数微分方程$⟺$线性时不变系统

非线性化系统：1.在平衡点处线性化 2.采用非线性化分析控制

拉普拉斯变换求解线性微分方程：

1. 运用$\mathcal{L}$将$t$域转化到$s$域；
2. $+-\times ÷$；
3. 运用${\mathcal{L}}^{-1}$将$s$域转化到$t$域；

拉普拉斯逆变换

$F(s)=\frac{5-s}{s^2+5s+4}$

$F(s)=\frac{-3}{s+4}+\frac{2}{s+1}$

${\mathcal{L}}^{-1}[F(s)]=-3e^{-4t}+2e^{-t}$

$s=-4,-1$：传递函数（Transfer Function）的极点（Poles）

一阶系统的单位阶跃响应（Step Response）

$\dot{x}(t)+\frac{g}{R}x(t)=u(t)$

$x(t)=\frac{CR}{g}(1-e^{-\frac{g}{R}t})$

时间常数$t=\tau$，满足$x(\tau )=1-\frac{1}{e}=0.63$

稳定（整定）时间 $Tss=4\tau$

用于系统辨识：

假设 $Tss=4$，则$\tau =1=\frac{R}{g}$

$\frac{CR}{g}=5⟹C=5$

$u(s)⟶\frac{a}{s+a}⟶x(s)$：本质上是一个低通滤波器

频率响应

input: $M_{i}sin(\omega t+{\varphi }_i)$

output: $M_{0}sin(\omega t+{\varphi }_0)$

振幅响应：$\frac{M_0}{M_i}=M$

幅角响应：${\varphi }_0-{\varphi }_i=\varphi$

(一番数学推导…)

conclusion

$M_G=|G(j\omega )|$

${\varphi }_G=\angle G(j\omega )$