网络流复习

编程语言 2023-04-08 10:54:25 阅读次数: 0

摘要

好博客
本文主要复习一年前学过的网络流，将以luogu，牛客，atcoder等大量题目作为复习
网络流难点在建边，只会板子是没有用的，需要大量的刷题
建边的要求是每一条流量与题意中的策略一一对应

知识点

技巧

拆点限流

酒店之王

在这里插入图片描述

signed main(){
    
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    S=0,T=N-1;
    int p,q,x;
    cin>>n>>p>>q;
    for(int i=1;i<=p;i++)add(S,i+300,1);
    for(int i=1;i<=q;i++)add(i+400,T,1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        for(int j=1;j<=p;j++){
    
    
            cin>>x;
            if(x)add(j+300,i,1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        for(int j=1;j<=q;j++){
    
    
            cin>>x;
            if(x)add(i+100,j+400,1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)add(i,i+100,1);
    cout<<dinic();
}

P1345 [USACO5.4]奶牛的电信Telecowmunication

在这里插入图片描述
80分
错误分析，这道题不是让我们删边，而是删点

signed main(){
    
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    S=0,T=N-1;
    int c1,c2;
    cin>>n>>m>>c1>>c2;
    add(S,c1,1e9),add(c2,T,1e9);
    for(int i=1;i<=m;i++){
    
    
        int o=i+n;
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(x,y,1),add(y,x,1);
    }
    cout<<dinic();
}

100分
最小割的意思是，求最小的代价使得源点S和汇点T不连通
容量就是代价，所以c1/c2连向c1/c2+n的那条边不能像别的普通点那样代价为1
题目说了这两个点是不能删的
ac了这道题之后
我们考虑几个扩展问题：
删边怎么做？
删的代价不是1而是w[i]怎么做？
既可以删点也可以删边怎么做？
题目再给出k个关键点表示不准删怎么做（概率很大会出）

signed main(){
    
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    S=0,T=N-1;
    int c1,c2;
    cin>>n>>m>>c1>>c2;
    add(S,c1,1e9),add(c2+n,T,1e9);
    // for(int i=1;i<=n;i++)add(i,i+n,1);//不对
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        if(i==c1||i==c2)add(i,i+n,1e9);
        else add(i,i+n,1);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
    
    
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(x+n,y,1e9);
        add(y+n,x,1e9);
    }
    cout<<dinic();
}

最长递增子序列问题

在这里插入图片描述
这是又一种策略
在跑出来的dp值上建图
如果是1就源点连一条边
如果是第一问的结果maxlen就向汇点连一条边
拆点表示每个值只能用一次

考虑拓展：
将这种策略这种套路应用到another dp上面去?
每个值有特殊的使用次数b[i]?

signed main(){
    
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n;
    S=0,T=N-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    int L=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        g[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++){
    
    
            if(a[i]>=a[j])g[i]=max(g[i],g[j]+1);
        }
        L=max(L,g[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        add(i,n+i);
        if(g[i]==1)add(S,i);
        if(g[i]==L)add(i+n,T);
        for(int j=1;j<i;j++){
    
    
            if(a[j]<=a[i]&&g[j]+1==g[i])
            add(j+n,i);
        }
    }
    int ans=dinic();
    cout<<L<<'\n';
    cout<<ans<<'\n';
    for(int i=0;i<idx;i+=2){
    
    
        int a=e[i^1],b=e[i];
        if(a==S&&b==1)f[i]=1e9;
        if(a==1&&b==n+1)f[i]=1e9;
        if(a==n&&b==n+n)f[i]=1e9;
        if(a==n+n&&b==T)f[i]=1e9;
    }
    if(L==1)cout<<n;
    else cout<<ans+dinic();
}

企鹅游行

在这里插入图片描述
建图是很简单的，这里学个还原图的小技巧

void solve(){
    
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    idx=0;
    cin>>n>>D;
    S=0;
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>ice[i].x>>ice[i].y>>ice[i].cnt>>ice[i].ok;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        add(S,i,ice[i].cnt);
        add(i,i+n,ice[i].ok);
        sum+=ice[i].cnt;
        for(int j=1;j<=n;j++){
    
    
            if(i==j)continue;
            if(get_dist(i,j)>D)continue;
            add(i+n,j,1e9);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        T=i;
        for(int j=0;j<idx;j+=2){
    
    
            f[j]+=f[j^1];
            f[j^1]=0;
        }
        if(dinic()==sum){
    
    
            cout<<i-1<<" ";
            ans++;
        }
    }
    if(ans==0)cout<<"-1"<<'\n';
    else cout<<'\n';
}
signed main(){
    
    
    int _;
    cin>>_;
    while(_--)solve();
}

利用虚点表示组合关系

一般，题目是不会简单的给出最小割模板，而是会给出m种策略，说在这Ai和Bj组合会得到怎样的收益或者如果Ai和Bj未组合会得到k损失

P1361 小M的作物

在这里插入图片描述
考虑A的组合收益，建一个虚点L，S向L连容量为A的边，L向组合点集{x}连边1e9
当且仅当这些点集删掉与T相连的边，才会获得A的收益
换句话说
，如果存在一条边从S->x->T
则说明这个点既属于耕地A又属于耕地B，不合法

如果存在一条边属于S->L->x->T同理
好好理解最小割的含义，断边的代价
一般策略与条件就是不可割边1e9，策略的收益与S连边是可割边，容量是割掉这条边的代价

signed main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    memset(h,-1,sizeof h);
    S=0,T=N-1;
    int sum=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        int x;
        cin>>x;
        add(S,i,x);
        sum+=x;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        int x;
        cin>>x;
        add(i,T,x);
        sum+=x;
    }
    cin>>m;
    int o=n;
    while(m--){
    
    
        int L=++o;
        int R=++o;
        int k,x,A,B;
        cin>>k>>A>>B;
        sum+=A,sum+=B;
        add(S,L,A),add(R,T,B);
        while(k--){
    
    
            cin>>x;
            add(L,x,2e9);
            add(x,R,2e9);
        }
    }
    cout<<sum-dinic();
}

时间轴建图

P3980 [NOI2008] 志愿者招募

signed main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    S=0,T=N-1;
    vector<int>a(n+1);
    add(S,1,1e9,0);add(n+1,T,1e9,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        cin>>a[i];
        add(i,i+1,1e9-a[i],0);
        //第i天需要a[i]的流量，必然会有流量往志愿者的边上走
    }
    
    while(m--){
    
    
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        add(l,r+1,1e9,c);
        //花费c的代价能够使1流量从l到达r+1
    }
    int flow,cost;
    EK(flow,cost);
    // cout<<flow<<" "<<cost;
    cout<<cost;
}

abc274_g

题意：n*m的矩阵有障碍物，选择若干条单向激光照射到全部的点，激光会被障碍物挡住，求最短激光数。
该问题等价于求若干个连通块，贪吃蛇走完所需的最少扭头数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 1e9
const int N =300*300*2+10,M=N*4;
int h[N],e[M],f[M],ne[M],idx,d[N],cur[N],q[N];
int n,m,S,T;
void add(int a,int b,int c){
    
    
    e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
    e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool bfs()  // 创建分层图
{
    
    
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(d, -1, sizeof d);
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while (hh <= tt)
    {
    
    
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
    
    
            int ver = e[i];
            if (d[ver] == -1 && f[i])
            {
    
    
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if (ver == T) return true;
                q[ ++ tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;  // 没有增广路
}

int find(int u, int limit)  // 在残留网络中增广
{
    
    
    if (u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i])
    {
    
    
        cur[u] = i;  // 当前弧优化
        int ver = e[i];
        if (d[ver] == d[u] + 1 && f[i])
        {
    
    
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if (!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    
    
    int r = 0, flow;
    while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;
    return r;
}
// int vis[N];
// void dfs(int u){
    
    
//     vis[u]=1;
//     for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
    
    
//         if(f[i]&&!vis[e[i]])
//         dfs(e[i]);
//     }
// }
int xx[]={
    
    1,-1,0,0};
int yy[]={
    
    0,0,1,-1};
int st[220][220];
typedef vector<int>vi;
signed main(){
    
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    vector<string>s(n);
    vector<vi> x(n,vi(m,0));
    vector<vi> y(n,vi(m,0));
    S=n*m*2+1,T=S+1;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>s[i];
    for(int i=0;i<n;i++){
    
    
        for(int j=0;j<m;j++){
    
    
            if(s[i][j]=='#')continue;
            int id=i*m+j;
            add(S,id,1);
            add(id+n*m,T,1);
            if(i>0&&s[i-1][j]=='.')x[i][j]=x[i-1][j];
            else x[i][j]=id;
            
            if(j>0&&s[i][j-1]=='.')y[i][j]=y[i][j-1];
            else y[i][j]=id+n*m;
            
            add(x[i][j],y[i][j],1e9);
        }
    }
    cout<<dinic();
}

牛客练习赛89F

题意：n*n的矩阵，有m个感染源，会不断地扩张，如果给感染源建一堵围墙，代价是1，如果正常格子被感染，代价是c，求最小代价
将被感染的格子放左边，S连边，容量是INF
将未被感染的格子放右边，T连边，容量是c，
格子与格子两两之间连边，容量是1，
其实跑一遍最大流就是答案最小割

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 1e9
const int N =220*220,M=N*10;
int h[N],e[M],f[M],ne[M],idx,d[N],cur[N],q[N];
int n,m,S,T;
void add(int a,int b,int c){
    
    
    e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
    e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool bfs()  // 创建分层图
{
    
    
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(d, -1, sizeof d);
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while (hh <= tt)
    {
    
    
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
    
    
            int ver = e[i];
            if (d[ver] == -1 && f[i])
            {
    
    
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if (ver == T) return true;
                q[ ++ tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;  // 没有增广路
}

int find(int u, int limit)  // 在残留网络中增广
{
    
    
    if (u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i])
    {
    
    
        cur[u] = i;  // 当前弧优化
        int ver = e[i];
        if (d[ver] == d[u] + 1 && f[i])
        {
    
    
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if (!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    
    
    int r = 0, flow;
    while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;
    return r;
}
// int vis[N];
// void dfs(int u){
    
    
//     vis[u]=1;
//     for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
    
    
//         if(f[i]&&!vis[e[i]])
//         dfs(e[i]);
//     }
// }
int xx[]={
    
    1,-1,0,0};
int yy[]={
    
    0,0,1,-1};
int st[220][220];
signed main(){
    
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    int c;
    cin>>n>>m>>c;
    S=0;
    vector id(n,vector<int>(n));
    int o=1;
    for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)id[i][j]=o++;
    T=o;
    for(int i=1;i<=m;i++){
    
    
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(S,id[x][y],INF);
        st[x][y]=1;
    }
    for(int x=0;x<n;x++){
    
    
        for(int y=0;y<n;y++){
    
    
            if(!st[x][y])add(id[x][y],T,c);
            for(int i=0;i<4;i++){
    
    
                int dx=x+xx[i];
                int dy=y+yy[i];
                if(dx>=0&&dx<n&&dy>=0&&dy<n){
    
    
                    add(id[x][y],id[dx][dy],1);
                }
            }
        
        }
    }
//     cout<<dinic()-c*m;
    cout<<dinic();
}

反悔贪心

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,m;
struct node{
    
    
    int l,r;
    bool operator<(const node&t)const{
    
    
        if(l==t.l)return r>t.r;
        return l<t.l;
    }
}a[N];
int tmp[N];
signed main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].l>>a[i].r;
    sort(a+1,a+1+n);
    int h=1,t=m;
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>q;
    vector<int>v;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        int l=a[i].l;
        int r=a[i].r;q.push(r);
        if(h<=t&&h<=l)h++;
        else v.push_back(q.top()),q.pop();
    }
    sort(v.begin(),v.end());
    reverse(v.begin(),v.end());
    int ans=0;
    for(auto r:v){
    
    
        if(h<=t&&r<=t)t--;
        else ans++;
    }
    cout<<ans;
}

带有限制的单调栈

class Solution {
    
    
public:
    vector<int> arrangeBookshelf(vector<int>& order, int limit) {
    
    
        auto a=order;
        int n=a.size();
        map<int,int>sum,del,in;
        //如果你比我小而且（ans里面的cnt+i后面的cnt）>limit，可以删
        // 而且你加进来后in【a[i]】不能大于limit
        for(auto x:a)sum[x]++;
        vector<int>ans;
        for(int i=0;i<n;i++){
    
    
            sum[a[i]]--;
            while(ans.size()&&ans.back()>a[i]&&in[ans.back()]+sum[ans.back()]>limit&&in[a[i]]+1<=limit){
    
    
                in[ans.back()]--;
                ans.pop_back();
            }
            ans.push_back(a[i]);
            in[a[i]]++;
            while(ans.size()&&in[ans.back()]>limit){
    
    
                in[ans.back()]--;
                ans.pop_back();
            }
        }
        return ans;
    }
};

集美大学校赛题K

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 1e9
const int N =30000,M=N*4;
int h[N],e[M],f[M],ne[M],idx,d[N],cur[N],q[N];
int n,m,S,T;
void add(int a,int b,int c){
    
    
    e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
    e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool bfs()  // 创建分层图
{
    
    
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(d, -1, sizeof d);
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while (hh <= tt)
    {
    
    
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
    
    
            int ver = e[i];
            if (d[ver] == -1 && f[i])
            {
    
    
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if (ver == T) return true;
                q[ ++ tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;  // 没有增广路
}

int find(int u, int limit)  // 在残留网络中增广
{
    
    
    if (u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i])
    {
    
    
        cur[u] = i;  // 当前弧优化
        int ver = e[i];
        if (d[ver] == d[u] + 1 && f[i])
        {
    
    
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if (!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    
    
    int r = 0, flow;
    while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;
    return r;
}
signed main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
    
    
        idx=0;
        memset(h,-1,sizeof h);
        cin>>n>>m;
        vector<int>a(n+1),p(n+1);
        S=0,T=n+2*m+1;
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],p[i]=i,add(S,i,1);
        int o=n;
        while(m--){
    
    
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            add(p[x],++o,a[x]);p[x]=o;
            add(p[y],++o,a[y]);p[y]=o;
            add(p[x],p[y],1);
            add(p[y],p[x],1);
        }
        add(p[1],T,a[1]);
        cout<<dinic()<<'\n';
    }
}

猜你喜欢

转载自blog.csdn.net/supreme567/article/details/127470341
今日推荐
《美国对全球网络空间安全与发展的威胁和破坏》报告发布
火速冲上 GitHub 热榜 —— 开源编程语言、框架哪有这么可爱？
北京人形机器人创新中心发布全球首个纯电驱拟人奔跑的全尺寸人形机器人“天工”
LFOSSA 源来如此公开课 | 掌握云原生未来：CNCF 认证全面攻略与备考秘籍
周排行
让自己的头脑极度开放
CentOS 6.5(x64) 和Redhat6.5操作系误删libc
高可用注册中心
【日记】12.28/【题解】AtCoder AGC041
XML（5）_XML 约束_DTD
Java集合Map（四）
树梅派安装桌面环境教程
pipenv 的 使用和安装
小程序白屏问题和内存研究
C语言简单选择排序
每日归档
更多
2024-05-02(0)
2024-05-01(4)
2024-04-30(1)
2024-04-29(40)
2024-04-28(0)
2024-04-27(56)
2024-04-26(39)
2024-04-25(22)
2024-04-24(36)
2024-04-23(26)

代码天地 © 2018 codetd.com

境外服务器   最新电视剧2022