PROJ 学习
Reference:
1. PROJ 介绍
PROJ 是一个通用的坐标转换软件，它将地理空间坐标从一个坐标参考系统(coordinate reference system, CRS)转换到另一个坐标参考系统。这包括地图投影以及大地测量转换。
2. 地图坐标系的基本概念和原理
地图坐标系是用于描述地图上位置的数学模型。它可以用来表示地球表面上的任意一个点，使得这个点的位置可以在地图上精确定位。不同的地图坐标系采用不同的基准面和投影方式，因此会有不同的坐标系参数，不同的坐标系之间也需要进行坐标转换。在地图制图、导航、GIS等领域中，地图坐标系是一个非常重要的概念。
地球是一个近似于椭球体的三维物体。由于地球的形状和尺寸非常复杂，为了方便测量和描述地球上的位置，我们需要采用一些数学模型来描述地球表面。通常情况下，我们会采用基准面和投影方式来建立地图坐标系。
基准面是一个参考面，通常用来定义地球的形状和尺寸。地球的形状可以用椭球体或者大地水准面来描述。椭球体是一种近似于地球形状的数学模型，它由长半轴和短半轴两个参数来描述。大地水准面则是以重力为基础建立的地球表面上的平均海平面，用来描述地球的真实形状。
投影方式是一种将三维地球表面投影到二维平面上的方法。由于地球是一个三维物体，所以我们需要将地球表面投影到一个平面上来制作地图。不同的投影方式会影响地图上不同地区的形状和面积。
3. 常见的地图坐标系类型
3.1 地球经纬度坐标系
地球经纬度坐标系是一种球面坐标系，通常用于描述地球表面上的位置。它将地球分为两个半球，分别为东半球和西半球，以及南半球和北半球，然后通过经度和纬度来确定在球面上的位置。
经度是指在地球上从南极到北极的虚拟线，也称为子午线。经度的取值范围是-180到180度，其中0度经线是本初子午线，位于英国伦敦的皇家格林威治天文台内。东经表示为正数，西经表示为负数。
纬度是指从地球中心到地球表面的一条线，垂直于经度线。纬度的取值范围是-90到90度，其中赤道是0度纬线，南纬表示为负数，北纬表示为正数。
地球经纬度坐标系的优点是易于理解和计算，但由于地球是一个球体，所以在地图制图和空间分析中使用时需要进行坐标变换。
3.2 地心坐标系（如WGS-84坐标系）
地心坐标系是以地球的质心作为坐标原点，以地球自转轴为Z轴的坐标系，通常用于描述地球的物理特性、导航定位等应用。其中最为广泛使用的地心坐标系之一是WGS-84坐标系，它以国际地球参考系（ITRF）为基准，通过数学模型和测量数据来描述地球的形状和旋转。
WGS-84坐标系是一种三维坐标系，以地球的质心为原点，以经线和纬线为基准，通过大量的测量数据来确定地球的形状、大小和自转角速度等参数，从而实现对地球位置的准确描述。其坐标轴定义如下：
- X轴：指向经度为0°，纬度为0°的点，即地球的交点。
- Y轴：指向经度为90°E，纬度为0°的点，即赤道上的某一点。
- Z轴：与地球自转轴重合，指向北极点。
在WGS-84坐标系中，地球的形状被抽象为一个椭球体，其长半轴为6378137米，短半轴为6356752.3142米，离心率为0.0818191910428。通过将经纬度坐标转换为WGS-84坐标系中的XYZ坐标，可以实现地球上的位置计算和导航定位等应用。
3.3 平面直角坐标系（如UTM坐标系）
平面直角坐标系（Planar Coordinate Systems）是一种基于平面直角坐标系的坐标系统，通常用于相对较小的地理区域，例如城市、州、国家等范围内。在平面直角坐标系中，地球表面被划分为网格，每个位置都有唯一的坐标值。
UTM坐标系（Universal Transverse Mercator）是平面直角坐标系中最常用的坐标系统之一。UTM坐标系把地球表面划分成60个纵向带，每个带对应一个投影系统。其中纵向带覆盖从经度0度到经度360度，横向带则依据赤道线和两极线的位置进行划分。每个带内的坐标系统采用横向墨卡托投影或是纵向墨卡托投影，将地球表面投影到平面上，并使用假东、假北坐标表示位置。可见Universal Transverse Mercator (UTM)
相对于经纬度坐标系，平面直角坐标系在短距离内能够提供更高的精度，通常用于测量、地图绘制等领域。但是，由于平面直角坐标系在较长距离内会出现较大的投影误差，因此并不适用于大范围的测量和导航等应用。
3.3.1 坐标系的定义和用途
平面直角坐标系是一种直角坐标系，用于在地图上将地球表面的位置表示为平面上的二维坐标，它是一种局部坐标系，适用于较小区域的地图制图和定位。
3.3.2 坐标系的投影方式
平面直角坐标系采用了多种不同的投影方式，常见的有横轴墨卡托投影、高斯-克吕格投影、UTM投影等。不同的投影方式适用于不同的地区和地形特征。
3.3.3 坐标系的基准面
平面直角坐标系的基准面可以是椭球面或平面，一般来说采用的是具有特定参数的椭球面作为基准面，如国际1924年椭球、WGS-84椭球等。
3.3.4 坐标系的坐标表示和转换方法
平面直角坐标系的坐标表示一般采用x，y两个坐标值来表示，也可以用距离和方位角等方式表示。坐标转换方法一般采用正反算法，通过将地球表面的经纬度坐标转换为平面坐标，或者将平面坐标转换为经纬度坐标。
3.3.5 坐标系的优缺点和适用范围
平面直角坐标系的优点是计算简单，精度高，易于处理，适用于小范围地图制作和定位；缺点是不适用于全球范围的制图，存在地区性差异，如有面积变形、方向畸变等问题。平面直角坐标系适用于城市地图、建筑设计、导航定位等领域。
3.4 地方坐标系（如高斯-克吕格坐标系）
地方坐标系（Local Coordinate System）是在地球表面上某个点处定义的坐标系，其坐标轴一般是平面直角坐标系，由局部大地基准确定。它与全球坐标系的转换需要考虑地球的椭球形状和大地基准的差异。
其中，高斯-克吕格坐标系（Gauss-Krüger Coordinate System），也叫高斯投影坐标系，是常见的地方坐标系之一。在高斯-克吕格坐标系中，地球被分成若干个带状区域，每个区域内可以通过一个平面直角坐标系来表示坐标。在中国，高斯-克吕格投影一般采用六度带，每个带宽度为 6 度，以中央经线为中心，向东西两边各三度。
由于高斯-克吕格坐标系是地方坐标系，因此其坐标原点和带宽度的选取是与实际地理情况相关的。在中国，高斯-克吕格坐标系一般采用 1954 年版北京坐标系（BJS54）作为大地基准，因此需要将 WGS-84 坐标系下的经纬度坐标先转换到 BJS54 坐标系下，然后再将其转换到高斯-克吕格坐标系下。
与经纬度坐标系相比，高斯-克吕格坐标系具有以下优点：
- 坐标值易于处理和计算，且可表示为实数形式；
- 在较小的区域内，投影误差较小，精度较高；
- 各地图投影的形状、大小、比例等参数是已知的，具有较好的相对精度和可比性。
不过，由于高斯-克吕格坐标系是局部的，其不适用于跨越多个投影带的情况。此外，在大范围地图上使用高斯-克吕格投影会引入较大的投影误差，因此在较大区域内使用 WGS-84 坐标系更为合适。
4. 坐标系之间的转换方法
4.1 经纬度与平面坐标系之间的转换
经纬度与平面坐标系之间的转换需要进行投影转换，通常采用的方法是先将经纬度坐标转换为笛卡尔坐标系（三维空间直角坐标系），然后再进行投影转换得到平面坐标系。
具体来说，经纬度转平面坐标系通常需要进行以下步骤：
- 将经纬度转换为地心空间直角坐标系，即WGS-84坐标系或其它地心坐标系。
- 将地心空间直角坐标系转换为局部平面直角坐标系，即UTM坐标系或其它局部坐标系。
- 根据地图投影的不同，将局部平面直角坐标系进行投影转换得到平面坐标系，如高斯-克吕格投影、墨卡托投影等。
平面坐标系转经纬度也需要进行反向的投影转换，具体步骤与上述相反，通常需要先将平面坐标系转换为局部平面直角坐标系，然后再转换为地心空间直角坐标系，最后转换为经纬度坐标。
以下是一个简单的C代码示例，演示如何使用Proj库将经纬度坐标转换为UTM平面坐标：
#include <stdio.h>
#include "proj_api.h"
int main() {
projPJ pj_utm, pj_latlong;
double x, y;
double lat = 40.748817, lon = -73.985428; // 纽约市时代广场的经纬度
// 定义投影方式
pj_latlong = pj_init_plus("+proj=latlong +datum=WGS84");
pj_utm = pj_init_plus("+proj=utm +zone=18 +datum=WGS84");
// 将经纬度转换为UTM坐标
pj_transform(pj_latlong, pj_utm, 1, 1, &lon, &lat, NULL);
printf("UTM坐标为: %.3f, %.3f\n", x, y);
// 释放投影对象
pj_free(pj_latlong);
pj_free(pj_utm);
return 0;
}
这个示例使用 Proj 库中的 proj_init_plus() 函数定义了两个投影方式，一个是WGS84椭球体下的经纬度坐标系，另一个是WGS84椭球体下的UTM坐标系。然后，它使用 pj_transform() 函数将经纬度坐标(lon, lat)转换为UTM坐标(x, y)。最后，使用 pj_free() 函数释放投影对象。
请注意，这只是一个简单的示例。在实际应用中，您需要考虑更多因素，例如所使用的椭球体、投影带、坐标单位等。
4.2 PROJ 参数说明
| Parameters | Descriptions |
|---|---|
| +zone=<value> | 选择要使用的UTM区域，取值范围为1-60 |
| +south | 在南半球使用UTM时添加此标志 |
| +approx | 对UTM使用更快，但精度有降低的算法 |
| +ellps=<value> | 内置椭球定义的名称，默认为“GRS80”。如果size和shape被指定为ellps=xxx，后面的shape和size参数将被作为内置椭球定义的修饰符考虑。(见proj -le) |
| +datum=<value> | 基准面名(见proj -ld) |
| +proj=<value> | 投影名(见proj -l) |
关于 ellps 与 datum 的区别：
基准面指定参数以映射椭球体上的坐标。其中一个参数是椭球中心的原点移位。
4.3 不使用PROJ的转换代码
这里参考的是 ofxGeo 工程：
/* -*- mode: C++ -*-
*
* Conversions between Latitude/Longitude and UTM
* (Universal Transverse Mercator) coordinates.
*
* License: Modified BSD Software License Agreement
*
* $Id$
*/
#ifndef _UTM_H
#define _UTM_H
/** @file
@brief Universal Transverse Mercator transforms.
Functions to convert (spherical) latitude and longitude to and
from (Euclidean) UTM coordinates.
@author Chuck Gantz- [email protected]
*/
#include <cmath>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "ofMathConstants.h"
namespace UTM
{
// Grid granularity for rounding UTM coordinates to generate MapXY.
const double grid_size = 100000.0; ///< 100 km grid
// WGS84 Parameters
#define WGS84_A 6378137.0 ///< major axis
#define WGS84_B 6356752.31424518 ///< minor axis
#define WGS84_F 0.0033528107 ///< ellipsoid flattening
#define WGS84_E 0.0818191908 ///< first eccentricity
#define WGS84_EP 0.0820944379 ///< second eccentricity
// UTM Parameters
#define UTM_K0 0.9996 ///< scale factor
#define UTM_FE 500000.0 ///< false easting
#define UTM_FN_N 0.0 ///< false northing, northern hemisphere
#define UTM_FN_S 10000000.0 ///< false northing, southern hemisphere
#define UTM_E2 (WGS84_E*WGS84_E) ///< e^2
#define UTM_E4 (UTM_E2*UTM_E2) ///< e^4
#define UTM_E6 (UTM_E4*UTM_E2) ///< e^6
#define UTM_EP2 (UTM_E2/(1-UTM_E2)) ///< e'^2
/**
* Determine the correct UTM letter designator for the
* given latitude
*
* @returns 'Z' if latitude is outside the UTM limits of 84N to 80S
*
* Written by Chuck Gantz- [email protected]
*/
static inline char UTMLetterDesignator(double Lat)
{
char LetterDesignator;
if ((84 >= Lat) && (Lat >= 72)) LetterDesignator = 'X';
else if ((72 > Lat) && (Lat >= 64)) LetterDesignator = 'W';
else if ((64 > Lat) && (Lat >= 56)) LetterDesignator = 'V';
else if ((56 > Lat) && (Lat >= 48)) LetterDesignator = 'U';
else if ((48 > Lat) && (Lat >= 40)) LetterDesignator = 'T';
else if ((40 > Lat) && (Lat >= 32)) LetterDesignator = 'S';
else if ((32 > Lat) && (Lat >= 24)) LetterDesignator = 'R';
else if ((24 > Lat) && (Lat >= 16)) LetterDesignator = 'Q';
else if ((16 > Lat) && (Lat >= 8)) LetterDesignator = 'P';
else if (( 8 > Lat) && (Lat >= 0)) LetterDesignator = 'N';
else if (( 0 > Lat) && (Lat >= -8)) LetterDesignator = 'M';
else if ((-8 > Lat) && (Lat >= -16)) LetterDesignator = 'L';
else if((-16 > Lat) && (Lat >= -24)) LetterDesignator = 'K';
else if((-24 > Lat) && (Lat >= -32)) LetterDesignator = 'J';
else if((-32 > Lat) && (Lat >= -40)) LetterDesignator = 'H';
else if((-40 > Lat) && (Lat >= -48)) LetterDesignator = 'G';
else if((-48 > Lat) && (Lat >= -56)) LetterDesignator = 'F';
else if((-56 > Lat) && (Lat >= -64)) LetterDesignator = 'E';
else if((-64 > Lat) && (Lat >= -72)) LetterDesignator = 'D';
else if((-72 > Lat) && (Lat >= -80)) LetterDesignator = 'C';
// 'Z' is an error flag, the Latitude is outside the UTM limits
else LetterDesignator = 'Z';
return LetterDesignator;
}
/**
* Convert lat/long to UTM coords. Equations from USGS Bulletin 1532
*
* East Longitudes are positive, West longitudes are negative.
* North latitudes are positive, South latitudes are negative
* Lat and Long are in fractional degrees
*
* Written by Chuck Gantz- [email protected]
*/
static inline void LLtoUTM(const double Lat, const double Long,
double &UTMNorthing, double &UTMEasting,
char* UTMZone)
{
double a = WGS84_A;
double eccSquared = UTM_E2;
double k0 = UTM_K0;
double LongOrigin;
double eccPrimeSquared;
double N, T, C, A, M;
//Make sure the longitude is between -180.00 .. 179.9
double LongTemp = (Long+180)-int((Long+180)/360)*360-180;
double LatRad = Lat*DEG_TO_RAD;
double LongRad = LongTemp*DEG_TO_RAD;
double LongOriginRad;
int ZoneNumber;
ZoneNumber = int((LongTemp + 180)/6) + 1;
if( Lat >= 56.0 && Lat < 64.0 && LongTemp >= 3.0 && LongTemp < 12.0 )
ZoneNumber = 32;
// Special zones for Svalbard
if( Lat >= 72.0 && Lat < 84.0 )
{
if( LongTemp >= 0.0 && LongTemp < 9.0 ) ZoneNumber = 31;
else if( LongTemp >= 9.0 && LongTemp < 21.0 ) ZoneNumber = 33;
else if( LongTemp >= 21.0 && LongTemp < 33.0 ) ZoneNumber = 35;
else if( LongTemp >= 33.0 && LongTemp < 42.0 ) ZoneNumber = 37;
}
// +3 puts origin in middle of zone
LongOrigin = (ZoneNumber - 1)*6 - 180 + 3;
LongOriginRad = LongOrigin * DEG_TO_RAD;
//compute the UTM Zone from the latitude and longitude
sprintf(UTMZone, "%d%c", ZoneNumber, UTMLetterDesignator(Lat));
eccPrimeSquared = (eccSquared)/(1-eccSquared);
N = a/sqrt(1-eccSquared*sin(LatRad)*sin(LatRad));
T = tan(LatRad)*tan(LatRad);
C = eccPrimeSquared*cos(LatRad)*cos(LatRad);
A = cos(LatRad)*(LongRad-LongOriginRad);
M = a*((1 - eccSquared/4 - 3*eccSquared*eccSquared/64
- 5*eccSquared*eccSquared*eccSquared/256) * LatRad
- (3*eccSquared/8 + 3*eccSquared*eccSquared/32
+ 45*eccSquared*eccSquared*eccSquared/1024)*sin(2*LatRad)
+ (15*eccSquared*eccSquared/256
+ 45*eccSquared*eccSquared*eccSquared/1024)*sin(4*LatRad)
- (35*eccSquared*eccSquared*eccSquared/3072)*sin(6*LatRad));
UTMEasting = (double)
(k0*N*(A+(1-T+C)*A*A*A/6
+ (5-18*T+T*T+72*C-58*eccPrimeSquared)*A*A*A*A*A/120)
+ 500000.0);
UTMNorthing = (double)
(k0*(M+N*tan(LatRad)
*(A*A/2+(5-T+9*C+4*C*C)*A*A*A*A/24
+ (61-58*T+T*T+600*C-330*eccPrimeSquared)*A*A*A*A*A*A/720)));
if(Lat < 0)
{
//10000000 meter offset for southern hemisphere
UTMNorthing += 10000000.0;
}
}
/**
* Converts UTM coords to lat/long. Equations from USGS Bulletin 1532
*
* East Longitudes are positive, West longitudes are negative.
* North latitudes are positive, South latitudes are negative
* Lat and Long are in fractional degrees.
*
* Written by Chuck Gantz- [email protected]
*/
static inline void UTMtoLL(const double UTMNorthing, const double UTMEasting,
const char* UTMZone, double& Lat, double& Long )
{
double k0 = UTM_K0;
double a = WGS84_A;
double eccSquared = UTM_E2;
double eccPrimeSquared;
double e1 = (1-sqrt(1-eccSquared))/(1+sqrt(1-eccSquared));
double N1, T1, C1, R1, D, M;
double LongOrigin;
double mu, phi1Rad;
double x, y;
int ZoneNumber;
char* ZoneLetter;
x = UTMEasting - 500000.0; //remove 500,000 meter offset for longitude
y = UTMNorthing;
ZoneNumber = strtoul(UTMZone, &ZoneLetter, 10);
if((*ZoneLetter - 'N') < 0)
{
//remove 10,000,000 meter offset used for southern hemisphere
y -= 10000000.0;
}
//+3 puts origin in middle of zone
LongOrigin = (ZoneNumber - 1)*6 - 180 + 3;
eccPrimeSquared = (eccSquared)/(1-eccSquared);
M = y / k0;
mu = M/(a*(1-eccSquared/4-3*eccSquared*eccSquared/64
-5*eccSquared*eccSquared*eccSquared/256));
phi1Rad = mu + ((3*e1/2-27*e1*e1*e1/32)*sin(2*mu)
+ (21*e1*e1/16-55*e1*e1*e1*e1/32)*sin(4*mu)
+ (151*e1*e1*e1/96)*sin(6*mu));
N1 = a/sqrt(1-eccSquared*sin(phi1Rad)*sin(phi1Rad));
T1 = tan(phi1Rad)*tan(phi1Rad);
C1 = eccPrimeSquared*cos(phi1Rad)*cos(phi1Rad);
R1 = a*(1-eccSquared)/pow(1-eccSquared*sin(phi1Rad)*sin(phi1Rad), 1.5);
D = x/(N1*k0);
Lat = phi1Rad - ((N1*tan(phi1Rad)/R1)
*(D*D/2
-(5+3*T1+10*C1-4*C1*C1-9*eccPrimeSquared)*D*D*D*D/24
+(61+90*T1+298*C1+45*T1*T1-252*eccPrimeSquared
-3*C1*C1)*D*D*D*D*D*D/720));
Lat = Lat * RAD_TO_DEG;
Long = ((D-(1+2*T1+C1)*D*D*D/6
+(5-2*C1+28*T1-3*C1*C1+8*eccPrimeSquared+24*T1*T1)
*D*D*D*D*D/120)
/ cos(phi1Rad));
Long = LongOrigin + Long * RAD_TO_DEG;
}
} // end namespace UTM
#endif // _UTM_H