一元二次函数的表达式
一般式
y = ax2+bx+c （a≠0）
-
为何 a≠0 ？（反推法）
∵ a=0
∴ y=bx+c，当b≠0，此为一元一次函数。
当b=0，此为常数函数。
可得：a≠0 -
提问学生一元一次函数的表达式，并在表达式上做出比较，巩固所学
一元二次函数：y = ax2+bx+c （a≠0）
一元一次函数：y = ax+b（a≠0）
顶点式
暂且跳过，之后提及
一元二次函数的图像
直的，弯的 … 此时的我们并不了解这个陌生人，那么如何揭开它神秘的面纱，请 描点法 为我们揭秘
1. 描点法
描点法，顾名思义，先描点再画图。废话不多说，咱直接举例说明
eg：y=x2
- 取不同的 x 的值，算出相应的 y 值
| x | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | ... | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | ... |
- 将上述的点涂在坐标系中，并将其连接，便得到了 y=x2 的图像
同理，接下来让学生用此方法画出以下一元二次函数的图像： y= -x2 、 y= x2+1、y= -x2+1、 y= x2+x+1、 y= -x2+x+1
-
问：还记得一元一次函数的图像是什么吗？
-
问：那想要画一个一元一次函数的图像至少需要几个点呢？
-
问：观察咱们刚刚画过的一元二次函数的图像，他们有什么特点？
曲线，对称 ，一会开口向上，一会开口向下… -
问：既然对称，那么你们可不可以画出以上所有图像的对称轴呢？
-
问：观察你们画出的对称轴，他们有什么规律？
垂直 x 轴并穿过 顶点的直线 -
问：什么时候开口向上，什么时候开口向下呢？
观察之前画过的图像，看出规律： a>0 ，开口向上。 a<0 ，开口向下 -
问：那想要画一个一元二次函数的图像至少需要几个点呢？
-
问：那你觉得这些点与其他点有什么不一样的呢？
这些点大多是 顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点
从讨论中得到结论，想要画出一个一元二次函数的图像，最重要的点有：顶点、与 x 轴的交点、与 y 轴的交点。如果我们可以快速得到这几个点的坐标，就可以不用繁琐的描点法了？那么如何快速得到这几个点的坐标呢？请看接下来的大救星之 公式法
在介绍公式法之前先插播一个知识点，之后的推导会用到
顶点式 ：y = a(x-h)2 + k （a≠0）
-
怎么得来的？
由最基本的一元二次函数 y=ax2 左右上下平移得到，举出例子：
① y=(x-2)2+1：由 y=x2 右移两个单位，上移动一个单位得到
② y=(x+2)2-1：由 y=x2 左移两个单位，下移动一个单位得到 -
既然是顶点式，那么顶点的坐标是什么？
观察 ① 的图像可知顶点为（2，1）
观察 ② 的图像可知顶点为（-2，-1）
由此，可看出顶点坐标为 （h，k）
2. 公式法
公式法，顾名思义，用公式得到特殊点的坐标，再作图。
① 顶点：（-b/2a， (4ac-b²)/4a）
- 公式的推导 （配方法，详讲）
② 与 x 轴的交点：使 ax2+bx+c=0，求解（这里可提问，帮助学生复习）
-
问：△ 是什么？
-
问：△ 等于什么？
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问：△ 的作用是什么？
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问：△ 的值有几种情况，每种情况分别代表什么？
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问：求根公式是什么？
-
问：除了用求根公式，还可以用什么？（回忆十字相乘法 ）
③ 与 y 轴的交点：（0，bx+c）
描点法与公式法的比较
描点法虽然在思路上较为简单，但是在找点的时候，需要一定的技巧性，并不好把握。有可能找了二十个点、三十个点、四十个点 … 都没画出来，结局只能是费力不讨好，所以了解就好，不必深究。更多的注意力应放于公式法，即熟练的掌握公式，快速算出特殊点的坐标
课后练习
- y = 5x2+9
- y = 4x2+4x+4
- y = x2+2x
- y = -3x2-5x
- y = -x2+x+6
- y = -7x2
- y = x2+x-6
本堂小结
