浮点数的加减乘除运算及流水线

浮点数的加减运算

设两个浮点数如下：
$$\begin{gathered} x=2^{E_x}\ast M_x \\ y=2^{E_y}\ast M_y \\ E表示阶码，M表示尾数 \end{gathered}$$
两个浮点数的加减运算规则是
$$\begin{gathered} x\pm y=(M_x\ast 2^{E_x-E_y}\pm M_y)\ast 2^{E_y} \\ {E}_x\le E_y \end{gathered}$$

浮点数加减运算过程

1. 0操作数的检查

对于0操作数的检查，是很必要的，浮点加减运算过程比定点加减过程复杂，如果实现判断两个操作数中有了一个零，后面的操作步骤就没必要进行了，可以节省操作时间。

2. 比较阶码大小并完成对阶

两个浮点数的加减运算，首先要看两个数的阶码是否相同，也就是看两个数的小数点位置是否对齐，如果相同就可以直接进行尾数加减运算，如果不同就要对阶以使小数点对齐。

对阶过程中一定要令小阶向大阶对齐，因为小阶变为大阶的时候，需要右移，也就是移出尾数，而如果相反，大阶向小阶对齐，则需要左移即将高位移出，这样做的误差会远远大于低位移出，因此要采用小阶向大阶的对阶方式。

对阶过程如下：

先求两数阶码之差，$\Delta E=E_x-E_y$,如果其等于零表示二者阶码相等，如果小于零表示x的阶码小于y的阶码，如果大于零表示x的阶码大于y的阶码，需要小的阶码向大的阶码靠拢，即小阶的尾数右移，每右移一位阶码加一，重复阶码差值的绝对值次

3. 尾数求和

方法与定点加减运算相同

4. 结果规格化

当运算结果的尾数不为0时，要求尾数真值的绝对值大于等于1/2，将运算结果左移成为左规，右移成为右规。

当符号位为单符号法表示时，

如果尾数用原码表示，不论正负第一数值位为1才是规格化数

对于补码反码来说，需要符号位与第一数值位不同才是规格化数

有一个-0.5的特例，需要求出其真值判断是否为规格化数

如果尾数用双符号位即变形补码来表示，经过加减运算后会有六种情况出现，

• 00.1xxxx
• 11.0xxxx

上面两种情况是已经规格化的数字，即符号位都为0或者1，第一数值位与符号位不同

• 11.1xxxx
• 00.0xxxx

上面两种情况需要左规，阶码减一

• 01.xxxxx
• 10.xxxx

上面两种情况发生溢出，但是对于双符号表示，并非真正的溢出，需要对其进行右规，阶码加一，右规最多有一次，左规可以有多次.

5. 舍入处理

在对阶或右规时，尾数要向右移，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，造成一定的误差，为了减小误差，需要进行舍入处理

• 0舍1入法

即如果右移时被丢掉的是0则舍去，是1则将尾数的末尾加1

• 恒置1法

即只要有数位被移掉，就在末尾的末尾恒置1

IEEE754也给出了舍入方法

• 就近舍入

相当于四舍五入，当多余的数位大于1000…时尾数有效位加1，当小于01111…时直接舍去，当等于1000…时，尾数最低有效位为0的话不变，为1的话加1

• 朝正无穷舍入

恒向数轴正方向舍入

• 朝负无穷舍入

恒向数轴负方向舍入

• 朝0舍入

直接舍去

6. 溢出分析

阶码正上溢|X|->正无穷

阶码负下溢|X|->0

浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的

浮点数的乘除运算

通常分为4步完成

1. 0操作数检查
2. 阶码相加减
3. 尾数相乘除
4. 结果规格化及舍入处理

运算过程

1. 0操作数与加减运算相同
2. 阶码相加减

阶码是补码时使用补码运算，是移码时使用移码运算
$$\begin{gathered} [x+y{]}_{补}=[x{]}_{补}+[y{]}_{补} \\ [x-y{]}_{补}=[x{]}_{补}+[-y{]}_{补} \\ [x+y{]}_{移}=[x{]}_{移}+[y{]}_{补} \\ [x-y{]}_{移}=[x{]}_{移}+[-y{]}_{补} \end{gathered}$$

3. 尾数相乘除

定点运算器完成

对于尾数运算中超出尾数位的数据的处理

• 截断法

无条件丢弃

• 舍入处理

运算过程中保留右移移出的位中若干高位的值，最后再按照某种规则用这些位上的值修正尾数

浮点运算流水线

计算机中把一个重复的过程分解为若干个子过程，每个子过程与其他子过程并行进行，由于这种工作方式与工厂中的生产流水线十分相似，因此成为流水线技术

从本质上讲，流水线技术是一种时间并行技术

流水线中的每个子过程及其功能部件成为流水线的级或者段，段与段之间相互连接形成流水线

假定作业T被分为K个子任务，各个子任务之间有一定的优先关系，如果i<j则必须在Ti完成之后Tj才能开始工作，具有这种线性优先关系的流水线称为线性流水线。

对于线性流水线子任务的划分原则，原则上要求各个阶段的处理时间都相同，如果某一阶段的处理时间比较长，势必造成其他阶段的空转等待

流水线的加速比

$$C_k=\frac{非流水时所需周期数}{流水线时所需周期数}=\frac{T_L}{T_K}=\frac{n\cdot k}{k+(n-1)}$$

当n>>k时，可以近似有Ck=k

理论上k级流水线处理任务可以提高k倍的速度，但是实际上由于存储冲突，数据相关，理想加速比不一定能达到

也可以使用：
$$C_k=\frac{非流水一个时钟周期时间}{流水线一个时钟周期时间}$$