数理方程
数学物理方程是研究物理、力学、工程技术及其他自然科学时,经一些简化得到的一些偏微分方程,反映客观世界物理量之间关系。这些偏微分方程研究物理量在空间的分布规律和在时间的变化规律。
课程内容:3方程(波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程),4方法(分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法),2特殊函数(贝塞尔函数、勒让德多项式)
文章目录
1典型方程&定解条件推导
1.1基本方程建立
- 常微分方程:未知函数仅有1自变量,一元函数构成 y ′ ( x ) = x y'(x)=x y′(x)=x
- 偏微分方程:未知函数有>2个自变量,多元函数构成
- 一维波方程
∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 x ∂ x 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2x}{\partial x^2} ∂t2∂2u=a2∂x2∂2x - 一维热方程
∂ u ∂ t = a 2 ∂ 2 x ∂ x 2 \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2 x}{\partial x^2} ∂t∂u=a2∂x2∂2x - Laplace方程
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 → Δ u = 0 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0 \rightarrow \Delta u=0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u=0→Δu=0
- 一维波方程
1.1.1波方程
- 波动方程: ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) ∂t2∂2u=a2(∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u) 琴弦振动;杆、膜、液体、气体振动;电磁场震荡
弦振动
条件
- 均匀柔软细弦做微小横向运动
- ρ \rho ρ:弦线密度只受重力G、张力T作用
- u ( x , t ) u(x,t) u(x,t):t时刻点x位移
无外力受力分析
- x向: T cos α − T ′ cos α ′ = 0 ↣ 近似 T ≈ T ′ T\cos\alpha-T'\cos\alpha'=0 \rightarrowtail 近似 T\approx T' Tcosα−T′cosα′=0↣近似T≈T′
- 位移方向: − T sin α + T ′ sin α ′ − G = m a , G = ρ g d s -T\sin\alpha+T'\sin\alpha'-G=ma , G=\rho gds −Tsinα+T′sinα′−G=ma,G=ρgds
- sin α ≈ tan α = ∂ u ( x , t ) ∂ x , sin α ′ ≈ ∂ u ( x + d x , t ) ∂ x \sin\alpha \approx\tan\alpha =\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}, \sin\alpha'\approx\frac{\partial u(x+dx,t)}{\partial x} sinα≈tanα=∂x∂u(x,t),sinα′≈∂x∂u(x+dx,t)
- 弧长微分: d s = 1 + ( ∂ u ( x , t ) ∂ x ) 2 d x ≈ d x ds=\sqrt{1+(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})^2}dx\approx dx ds=1+(∂x∂u(x,t))2dx≈dx
- 微分中值定理: f ( a ) − f ( b ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(a)-f(b)=f'(\xi)(b-a) f(a)−f(b)=f′(ξ)(b−a)
- 代入2. ,去掉g, T ρ = a \sqrt{\frac{T}{\rho}}=a ρT=a 得一维标准波方程 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2} ∂t2∂2u(x,t)=a2∂x2∂2u(x,t)齐次方程
- 有外力作用,多f(x,t)自由项 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 + f ( x , t ) \frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}+f(x,t) ∂t2∂2u(x,t)=a2∂x2∂2u(x,t)+f(x,t) 非齐次方程
膜振动
- 边界固定的均匀薄膜,在平衡位置附近做微小横向振动,无重力外力,膜上每点张力-常数
- u ( x , y , t ) u(x,y,t) u(x,y,t):t时刻 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)位移
- x轴张力对膜作用力 ( T ∂ u ∂ x ∣ x + Δ x − T ∂ u ∂ x ∣ x ) Δ y (T\frac{\partial u}{\partial x}|_{x+\Delta x}-T\frac{\partial u}{\partial x}|_x)\Delta y (T∂x∂u∣x+Δx−T∂x∂u∣x)Δy, y轴 ( T ∂ u ∂ y ∣ y + Δ y − T ∂ u ∂ y ∣ y ) Δ x (T\frac{\partial u}{\partial y}|_{y+\Delta y}-T\frac{\partial u}{\partial y}|_y)\Delta x (T∂y∂u∣y+Δy−T∂y∂u∣y)Δx 相加 = m a =ma =ma
- 微分中值定理
T ∂ 2 u ∂ x 2 x = x + θ Δ x Δ x Δ y + T ∂ 2 u ∂ y 2 y = y + θ Δ y Δ y Δ x = Δ x Δ y ρ ∂ 2 u ∂ t 2 T\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}_{x=x+\theta\Delta x}\Delta x\Delta y+T\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}_{y=y+\theta\Delta y}\Delta y\Delta x=\Delta x\Delta y \rho\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} T∂x2∂2ux=x+θΔxΔxΔy+T∂y2∂2uy=y+θΔyΔyΔx=ΔxΔyρ∂t2∂2u - Δ x → 0 , Δ y → 0 \Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0 Δx→0,Δy→0 取极限, a = T ρ a=\sqrt{\frac{T}{\rho}} a=ρT 得
∂ 2 u ( x , y , t ) ∂ t 2 = a 2 ( ∂ 2 u ( x , y , t ) ∂ x 2 + ∂ 2 u ( x , y , t ) ∂ y 2 ) \frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial t^2}=a^2(\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial y^2}) ∂t2∂2u(x,y,t)=a2(∂x2∂2u(x,y,t)+∂y2∂2u(x,y,t))
1.1.2热方程
- 热传导方程: ∂ u ∂ t = a 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) \frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) ∂t∂u=a2(∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u) 热传导中温度分布;流体扩散、粘性液体流动
- 导热体:比热 C C C, 热传导系数 k k k, 密度 ρ \rho ρ为常数
- u ( x , y , z , t ) u(x,y,z,t) u(x,y,z,t)表示t时刻 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M(x,y,z)点温度, d S dS dS曲面微分, n n n为法向量指向外部; 取一包含 M M M点的封闭曲面 S S S, 研究温度 u u u规律
- 傅里叶热力学定律:一段时间 d t dt dt内,通过一块秒安吉 d S dS dS的热量 d Q dQ dQ正比于 d t , d S , ∂ u ∂ n dt,dS,\frac{\partial u}{\partial n} dt,dS,∂n∂u,-流出
- d Q = − k ∂ u ∂ n d S d t dQ=-k\frac{\partial u}{\partial n}dSdt dQ=−k∂n∂udSdt
傅里叶热力学定律
- t 1 → t 2 t_1\rightarrow t_2 t1→t2通过曲面 S S S流入区域 V V V的全部热量
- Q = ∫ t 1 t 2 ∬ S k ∂ u ∂ n d S d t Q=\int_{t_1}^{t_2}\iint\limits_{S}k\frac{\partial u}{\partial n}dSdt Q=∫t1t2S∬k∂n∂udSdt
- d Q = − k ∂ u ∂ n d S d t dQ=-k\frac{\partial u}{\partial n}dSdt dQ=−k∂n∂udSdt
- 热量流入 V V V, [ t 1 , t 2 ] [t_1,t_2] [t1,t2]内温度变化 u 1 → u 2 u_1\rightarrow u_2 u1→u2需要热量
Q = ∭ V c ρ [ u ( x , y , z , t 2 ) − u ( x , y , z , t 1 ) ] d V Q=\iiint\limits_V c\rho[u(x,y,z,t_2)-u(x,y,z,t_1)]dV Q=V∭cρ[u(x,y,z,t2)−u(x,y,z,t1)]dV - 方向导数 ∂ u ∂ l = ∂ u ∂ x cos α + ∂ u ∂ y cos β + ∂ u ∂ z cos γ \frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma ∂l∂u=∂x∂ucosα+∂y∂ucosβ+∂z∂ucosγ
高斯公式 ∭ Ω [ ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ] d V = ∬ ∂ Ω P d y d z + Q d x d z + R d x d y \iiint\limits_\Omega[\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}]dV=\iint\limits_{\partial \Omega}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy Ω∭[∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R]dV=∂Ω∬Pdydz+Qdxdz+Rdxdy
联立 ∬ S ∂ u ∂ n d S = ∭ Ω Δ u d V \iint\limits_S\frac{\partial u}{\partial n}dS=\iiint\limits_\Omega \Delta u dV S∬∂n∂udS=Ω∭ΔudV - 联立, a = k c ρ a=\sqrt{\frac{k}{c\rho}} a=cρk 得三位热传导方程 ∂ u ∂ t = a 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) \frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) ∂t∂u=a2(∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u)齐次
- 有热源 ∂ u ∂ t = a 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) + f ( x , y , z , t ) \frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) + f(x,y,z,t) ∂t∂u=a2(∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u)+f(x,y,z,t)非齐次
- 薄片导热体-二维热方程 ∂ u ∂ t = a 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 ) \frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}) ∂t∂u=a2(∂x2∂2u+∂y2∂2u)
- 细杆热导体-一维热方程 ∂ u ∂ t = a 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) \frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}) ∂t∂u=a2(∂x2∂2u)
- 恒稳温度场,各点温度不随时间改变->Laplace方程
- 拉普拉斯方程: ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0 ∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u=0或 Δ u = 0 \Delta u=0 Δu=0 空间的静电场分布;静磁场分布;稳定温度场分布
1.2定解条件推导
1.2.1初始条件
- 波方程
初位移 u ( x , t ) ∣ t = 0 = ϕ ( x ) u(x,t)|_{t=0}=\phi(x) u(x,t)∣t=0=ϕ(x)
初速度 ∂ u ( x , t ) ∂ t ∣ t = 0 = Ψ ( x ) \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}|_{t=0}=\varPsi(x) ∂t∂u(x,t)∣t=0=Ψ(x) - 热方程
开始时刻物体内各点温度分布 u ( M , t ) ∣ t = 0 = f ( M ) u(M,t)|_{t=0}=f(M) u(M,t)∣t=0=f(M) - Laplace方程
稳恒状态,时间无关,无初始条件
1.2.2边界条件
-
波方程
- 给出未知函数 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)在端点 x = a x=a x=a的情况
- x = a x=a x=a为固定端, u ( x , t ) ∣ x = a = 0 u(x,t)|_{x=a}=0 u(x,t)∣x=a=0
- x = a x=a x=a作简谐振动 A sin ω t A\sin\omega t Asinωt,则 u ( x , t ) ∣ x = a = A sin ω t u(x,t)|_{x=a}=A\sin\omega t u(x,t)∣x=a=Asinωt
- 给出未知函数 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)在端点 x = a x=a x=a的导数的情况
- 端点处受一个位移方向外力 v ( t ) v(t) v(t) 作用 ∂ u ( x , t ) ∂ x ∣ x = a = v 1 ( t ) , v 1 ( t ) = v ( t ) T \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}|_{x=a}=v_1(t), v_1(t)=\frac{v(t)}{T} ∂x∂u(x,t)∣x=a=v1(t),v1(t)=Tv(t)
- v ( t ) = 0 v(t)=0 v(t)=0, 端点不受位移方向外力,自由端 ∂ u ( x , t ) ∂ x ∣ x = a = 0 \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}|_{x=a}=0 ∂x∂u(x,t)∣x=a=0
- 组合情况
- 端点a处受弹性体支撑,胡克定律 F = − k Δ ˙ x F=-k\dot\Delta x F=−kΔ˙x : [ ∂ u ( x , t ) ∂ x + σ u ( x , t ) ] ∣ x = a = 0 , σ = k T [\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}+\sigma u(x,t)]|_{x=a}=0, \sigma=\frac{k}{T} [∂x∂u(x,t)+σu(x,t)]∣x=a=0,σ=Tk
- 给出未知函数 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)在端点 x = a x=a x=a的情况
-
热传导问题
- 端点情况:直接给出 u u u在边界 S S S的值 f f f, 边界条件$ u|_S=f$
- 导数情况:导热体 V V V与周围介质无热量交换,边界 S S S热量流速=0
- 傅里叶热力学定律 热量流速 d Q d S d t = − k ∂ u ∂ n \frac{dQ}{dSdt}=-k\frac{\partial u}{\partial n} dSdtdQ=−k∂n∂u
- 边界条件: ∂ u ∂ n ∣ S = 0 \frac{\partial u}{\partial n}|_S=0 ∂n∂u∣S=0
- 组合情况:导热体 V V V与周围介质 S S S有热量交换, u 1 u_1 u1介质温度
- 热学定律 d Q = k 1 ( u − u 1 ) d S d t dQ=k_1(u-u_1)dSdt dQ=k1(u−u1)dSdt, 联立傅里叶热力学定律
- 边界条件: ( ∂ u ∂ n + σ u ) ∣ S = σ u 1 ∣ S , σ = k 1 k (\frac{\partial u}{\partial n}+\sigma u)|_S=\sigma u_1|_S, \sigma=\frac{k_1}{k} (∂n∂u+σu)∣S=σu1∣S,σ=kk1
-
边界条件分类
- 第1类边界条件:直接给出 u u u在 S S S值 u ∣ S = f u|_S=f u∣S=f
- 齐次条件 f = 0 f=0 f=0,非齐次条件 f ≠ 0 f\neq 0 f=0
- 第2类边界条件:沿 S S S外法线导数 ∂ u ∂ n ∣ S = f \frac{\partial u}{\partial n}|_S=f ∂n∂u∣S=f
- 第3类边界条件:组合 ( ∂ u ∂ n + σ u ) ∣ S = f (\frac{\partial u}{\partial n}+\sigma u)|_S=f (∂n∂u+σu)∣S=f
- 第1类边界条件:直接给出 u u u在 S S S值 u ∣ S = f u|_S=f u∣S=f
1.3定解问题
方程+定解条件=定解问题
1.3.1定解问题提法
- 始值问题:方程+初始条件
- 一维无界波动问题:(方程), − ∞ < x < ∞ -\infty<x<\infty −∞<x<∞
- 只有初始条件 u ∣ t = 0 = ? , ∂ u ∂ t ∣ t = 0 = ? u|_{t=0}=?,\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=? u∣t=0=?,∂t∂u∣t=0=?
- 边值问题:方程+边界条件
- Laplace方程(方程)无时间
- 边界条件 u ( x , y , z ) ∣ ∂ Ω = f u(x,y,z)|_{\partial \Omega}=f u(x,y,z)∣∂Ω=f
- 混合问题:方程+边界条件+初始条件
- 有界状态一维热方程:(方程) 0 < x < l , t > 0 0<x<l,t>0 0<x<l,t>0
- 边界条件 u ∣ x = 0 = t 2 , u ( x , t ) ∣ x = l = t u|_{x=0}=t^2,u(x,t)|{x=l}=t u∣x=0=t2,u(x,t)∣x=l=t
- 初始条件 u ∣ t = 0 = ϕ ( x ) u|_{t=0}=\phi(x) u∣t=0=ϕ(x)
1.3.2定解问题解法
- 解的存在性
- 解的唯一性
- 解的稳定性
- 解法:分离变量法,行波法,积分变换法,格林函数法
题目
- 一均匀杆,长为 l l l,一端固定,另一端沿杆的轴线方向被拉长 e e e而静止,突然放手任其振动,试写出定解问题.
- 一均匀杆,长为 l l l,一端固定,另一端沿杆的轴线方向受压,杆缩短为
l ( l − 2 ε ) l(l-2\varepsilon) l(l−2ε) 突然放手任其振动,试写出定解问题.