BGV的对称加密

BGV是目前比较流行的全同态加密方案之一，其构造基于$LWE$或者$R-LWE$。本文介绍BGV方案的私钥加密，也就是对称加密的形式，基于多项式环的描述。

假设与参数

其假设跟公钥的BGV是完全一样的。有一个由分圆多项式构造的环Ｒ，满足安全参数。在环上有三个分布，均匀随机分布，私钥分布和噪声分布。一般来说，私钥分布和噪声分布是相同的（对于多项式环），为高斯离散分布。
明文为${\mathbb{Z}}_p$中的元素，$p$是一个公开的素数。

私钥生成和加解密

其私钥是从私钥分布中采样的一个秘密随机数，设为$s$.
加密：假设我们要加密一个消息，被编码成$m$。在均匀随机分布中采样得到$c_1$，在噪声分布中采样得到$e$，然后计算$c_0=c_{1}s+pe+m$.得到最终的密文为$\mathbf{c}=(c_0,c_1)$.
解密：对称加密的特点就是，加密和解密的密钥是相同的，都是$s$.解密时，我们计算$m=c_0-c_{1}s\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$.可以看到，私钥加密得到的密文和公钥加密得到的密文是一样的解密方式。这样对于同态加法、同态乘法、重线性化等等操作都是一样的。
解密正确性证明：
$\begin{array}{rl}{c}_0-c_{1}s\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p& =c_{1}s+pe+m-c_{1}s\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\\ & =pe+m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\\ & =m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\end{array}$