四元数（quaternion）

四元数是对实数或者说复数的一个扩展。类似于复数是在实数的基础上添加了一个虚部，四元数在复数的基础上再添加了两个虚部。
一般形式的四元数，其实是一个四维的元组$(a,bi,cj,dk)$其中$a,b,c,d$是实数，$i,j,k$是不同的虚数单位，并且满足$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$.
而且
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{r}ij=-ji=k\\ jk=-kj=i\\ ki=-ik=j\end{array}\end{array}$$
下面是几个简单的四元数的例子：

加法

四元数的加法就是对应的维度的实数相加。
$$(a_1,b_{1}i,c_{1}j,d_{1}k)+(a_2,b_{2}i,c_{2}j,d_{2}k)=(a_1+a_2,(b_1+b_2)i,(c_1+c_2)j,(d_1+d_2)k)$$
满足加法交换律。

乘法

把一个四元数看作一个多项式，$i,j,k$看作变量，则有
$$\begin{gathered} (a_1,b_{1}i,c_{1}j,d_{1}k)=a_1+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k \\ (a_2,b_{2}i,c_{2}j,d_{2}k)=a_2+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k \end{gathered}$$
$$\begin{array}{rl}(a_1,b_{1}i,c_{1}j,d_{1}k)\ast (a_2,b_{2}i,c_{2}j,d_{2}k)& =(a_1+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)\ast (a_2+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\\ & =a_1{a}_2+a_1{b}_{2}i+a_1{c}_{2}j+a_1{d}_{2}k+b_1{a}_{2}i+b_1{b}_2{i}^2+b_1{c}_{2}ij+b_1{d}_{2}ik+c_1{a}_{2}j+c_1{b}_{2}ji+c_1{c}_2{j}^2+c_1{d}_{2}jk+d_1{a}_{2}k+d_1{b}_{2}ki+d_1{c}_{2}kj+d_1{d}_2{k}^2\\ & =a_1{a}_2-b_1{b}_2-c_1{c}_2-d_1{d}_2+(a_1{b}_2+b_1{a}_2+c_1{d}_2-d_1{c}_2)i+(a_1{c}_2-b_1{d}_2+c_1{a}_2+d_1{b}_2)j+(a_1{d}_2+b_1{c}_2-c_1{b}_2+d_1{a}_2)k\\ & =(a_1{a}_2-b_1{b}_2-c_1{c}_2-d_1{d}_2,(a_1{b}_2+b_1{a}_2+c_1{d}_2-d_1{c}_2)i,(a_1{c}_2-b_1{d}_2+c_1{a}_2+d_1{b}_2)j,(a_1{d}_2+b_1{c}_2-c_1{b}_2+d_1{a}_2)k)\end{array}$$
显然，值得注意的是乘法并不是交换的，也就是四元数a和四元数b的乘积并不一定会等于四元数b和四元数a的乘积。

$a=quaternion(1,2,3,4)$
$b=quaternion(2,1,3,6)$
$a\ast b=-33+11i+1j+17k$
$b\ast a=-33-1i+17j+11k$

共轭、模与逆

四元数$x=(a,bi,cj,dk)$的共轭$x^{\prime }=(a,-bi,-cj,-dk)$.
x的模为$|x|=\sqrt{x\ast x^{\prime }}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$.
x的逆$x^{-1}=\frac{x^{\prime }}{|x{|}^2}$显然，只有四元素的模不为0时才有逆。