CDR：线性模型处理量子噪声处理方法

文章链接

这篇文章乍一看内容挺少的，看下来感觉可以扩充很多知识点，展开学习可能需要花费更长的时间。

这篇文章介绍了 Clifford Data Regression(CDR) 方法，用于处理量子噪声，该文章将CDR运用在QAOA、phase estimation上，并与zero-noise extrapolation(ZNE)方法进行对比，最后发现在处理大规模量子电路的噪声问题上，CDR方法具有更好的效果。

CDR实现过程

1. 用一个含大量Clifford gate的量子电路制备一系列量子态$S_{\psi }=|{\varphi }_i⟩$。
2. 分别于量子计算机、经典计算机中测量得到训练数据集$T_{\psi }=\left\{X_{{\varphi }_i}^{noisy},X_{{\varphi }_i}^{exact}\right\}$。
3. 建立一个模型$$X_{{\varphi }_i}^{exact}=f(X_{{\varphi }_i}^{noisy},\alpha )$$可以选择多种模型，本文采用的线性模型，即$$f(X_{{\varphi }_i}^{noisy},\alpha )={\alpha }_1{X}_{{\varphi }_i}^{noisy}+{\alpha }_2$$损失函数选择为均方误差。
4. 用得到的模型去矫正原电路中的测量噪声。

生成用于测试的量子态

这一部分主要的疑问是：

1. 为什么选择Clifford gate组成的电路生成制备数据集的量子态？
2. 如何在QAOA、phase estimation中运用该种方法？因为该两种电路并不全是由Clifford gates构成的。

对于第一个问题，读文章时，我通过知乎和外网一篇文章了解，展开内容较多，这里仅部分摘要（部分也没有看懂）

对于第二个问题，文中采用了马尔可夫链蒙特卡罗算法(MCMC)采样，将QAOA中non-clifford gate改为$S^n$，因为对MCMC不了解，对具体实现过程不是很清楚。

Clifford circuit和Clifford gate

Pauli 矩阵： { I , X , Y , Z } \displaystyle \left\{ I,X,Y,Z\right\} { I,X,Y,Z}

乘上$\pm 1,\pm i$则可得到一个群(（single-qubit）Pauli 群)： P 1 = { ± I , ± X , ± Y , ± Z , ± i I , ± i X , ± i Y , ± i Z } P_1=\displaystyle \left\{ \pm I,\pm X,\pm Y,\pm Z,\pm iI,\pm iX,\pm iY,\pm iZ \right\} P1​={ ±I,±X,±Y,±Z,±iI,±iX,±iY,±iZ}

对他们做张量积运算即可得到multi-qubit Pauli群：$$P_n=P_1^{\otimes n}$$
其中的元素称为Pauli string。

Clifford 线路，或称为stabilizer 线路具有以下特点：

• Pauli string 经过演化后依然是 Pauli string。
• n-qubit大小的Clifford可以被$2n\times 2n$大小的01矩阵以及$2n$大小的01相位向量组成

而这中电路可以由仅由Clifford gate组成，也就是由 { H , S , C N O T } \displaystyle \left\{ H,S,CNOT\right\} { H,S,CNOT}这三种门电路构成。

了解了Clifford circuit后，再通过Gottesman-Knill theorem则可知为何选择Clifford circuit。

Gottesman-Knill theorem

具体表述为：

Gottesman-Knill theorem:
A quantum computer performing only

1. Clifford group operations,
2. measurements of Pauli group operators,
3. Clifford group operations with classical control conditioned on the >outcome of such measurements,
   can be efficiently simulated in polynomial complexity on a probabilistic >classical computer.

也就是说经典计算机可以有效地仿真Clifford gates组成的电路。

更多严谨的证明见这篇文章

用MCMC技术采样获得数据集

关于MCMC相关可以通过一篇博客了解。
真正理解MCMC需要大量数学知识，计算过程也十分复杂。由于时间问题，目前仅作简单原理上的了解。
在文章中，这一部分主要在Appendix B中介绍，但也只是很简略的写了，对于具体如何利用MCMC进行采样我不是很清楚。

蒙特卡罗方法

这是一种重复生成随机数字来估计固定参数的方法。
最早的蒙特卡罗方法是用于处理一些难以计算的积分问题，例如计算下图的积分面积

我们可以通过选取一个矩形区域（或任意一个方便计算且包含该图形的形状），在该区域内随机均匀采样，最后统计坐落在待积分面积中和总随机采样数的比例，则可推断出待求面积。

马尔可夫链

主要有三个要素：

1. 状态空间（类似于数字电路中的状态转换表）
2. 无记忆性：下一个状态仅与当前状态有关
3. 转移矩阵：可以将当前状态与下一个状态的关系用用一个矩阵表示

该方法可以预测问题的最终稳态情况，稳态情况极为转移矩阵特征值=1对应的特征向量，但在现实中很难找到该模型。

MCMC方法

1. MCMC方法要选择一个随机参数。模型会继续产生随机值（这是蒙特卡罗的一部分），但要根据一些规则来确定什么是一个好的参数值。
2. 对于一对参数值，通过计算每个值能解释数据的可能性，将有可能计算哪个参数值更好。如果一个随机生成的参数比上一个参数更好，则将根据好的程度确定一定概率，并将其添加到参数值链中（这是马尔可夫链的一部分）。

以QAOA电路为例

如上图所示，该QAOA电路为4qubit大小，$\beta 、\gamma$均为参数。

其中的$P=R_X(\pi /2)、S$门都是Clifford gate（$R_X(\pi /2)$可以用$S、H、CNOT$门表示出来），而$R_Z(\alpha )$门均为non-Clifford gate，故我们处理的对象就是这些non-Clifford gate。

具体做法为：

• 选取$n_p$对$R_Z(\alpha )$，对于每一对$R_Z(\alpha )$将其中一个替换为$S^n$，另一个不做任何处理。n的参数由$w(n)=e^{-d^2/{\sigma }^2},d=||R_Z(\alpha -S^n)||$确定。
• 利用Metropolis-Hastings rule以及相似度计算函数$L$来判断接收还是拒绝该变换。$$L(X_{{\varphi }_i}^{exact})\propto e^{-(X^{exact}-X_0{)}^2/X_{\sigma }^2}$$其中$X_0=-2.1,X_{\sigma }=0.05$。（不同的电路取不同的$L$函数）

通过上述操作，采样得到一系列量子态，用于后面建立数据集、模型参数求解。

生成训练集

由第一步我们可以得到一系列量子态$S_{\psi }=|{\varphi }_i⟩$，分别在量子计算机和经典计算机上进行测量操作。

通过在经典计算机上通过$X_{{\varphi }_i}^{exact}=⟨{\varphi }_i|X|{\varphi }_i⟩$得到模型训练集中的$y$，其中$X$为投影测量对应的observable。

在量子计算机上，测量得到带噪声的输入$X_{{\varphi }_i}^{exact}$作为模型训练集中的$x$。

建立模型

该步骤主要问题为：

• 本文为什么选用线性模型？

Appendix A主要介绍线性模型的理论基础。

对于无噪声量子态$|{\varphi }_i⟩$，因为噪声对其的作用，最终测量得到的量子态变为：$${\rho }_{{\varphi }_i}=(1-p{)}^m|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|+(1-(1-p{)}^m)I/d$$其中$d$为Hilbert空间的维度，$0\le p\le 1$

故在含噪声的量子电路中，我们最后得到的数据为：
$$\begin{array}{rl}{X}_{\psi }^{noisy}& =Tr({\rho }_{\psi }X)\\ & =(1-p{)}^m{X}_{\psi }^{exact}+(1-(1-p{)}^m)Tr(X)/d\end{array}$$

对其进行整理即可得：$$X_{\psi }^{exact}=a_1{X}_{\psi }^{noisy}+a_2$$
其中$a_1=\frac{1}{(1-p{)}^m},a_2=-\frac{(1-(1-p{)}^m)Tr(X)}{d(1-p{)}^m}$

所以该文章选择线性模型作为训练模型，对于训练模型所用的损失函数，文章中选用了较为常见的均方误差作为损失函数：$$C=\sum (X_{{\varphi }_i}^{exact}-(a_1{X}_{{\varphi }_i}^{noise}+a_2{)}^2)$$

这一部分实现应该较为简单，现有的api太多了。

矫正量子噪声

如图3所示，在得到合适的参数后，将实际量子电路中测量得到的结构，放入我们训练出来的模型中，则可得到我们预期的无噪声结果。

文章中也有提到，可以搭建一个线性含参量子电路，来做为一个矫正电路去掉噪声，这需要将将模型得到的参数转换到含参电路中去。