感知机：教你用Python一步步实现

感知机

问题描述

感知机是二类分类的线性分类模型，输入为分类对象的特诊向量，输出为 $\pm 1$，用于判别分类对象的类型。这么说有些抽象，下面举一个例子。

就像上面这幅图，

• 实例对应上图就是每个点
• 实例的特征向量就是指这些点的横纵坐标，我们把他记为 $(x_1,x_2{)}^T$。
• 我们根据每个点的颜色，将点分别标记为$1$和$-1$，也就是我们的输出 $y$ 。

利用这些已知坐标的红蓝点，我们需要训练下面这个模型，

这个模型一共有$3$个参数$({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2)$，使它能够实现以下功能：

1. 当$y=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}({\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+{\theta }_0)=+1$时，我们知道该点为红。
2. 当$y=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}({\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+{\theta }_0)=-1$时，我们知道该点为蓝。

其中
$$\begin{array}{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)=\{\begin{array}{rl}+1,& x\ge 0\\ -1,& x<0\end{array}\end{array}$$

数据集构建

开始前，我们需要自己整一个数据集用来训练。
先导入一些后面需要的包

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
from typing import List, Tuple

然后就是搭建我们的数据集。

# 随机生成一些点，并根据直线将点划分为2个区域
def sample_point(w: float, b: float, num: int) -> Tuple[List[List[float]], List[float]]:
    x, y = [], []
    for _ in range(num):
        p_x1 = np.random.random_sample(1) * 20 - 10
        p_x2 = np.random.random_sample(1) * 20 - 10
        p_y = 1 if w * p_x1 + b - p_x2 > 0 else -1
        x.append([p_x1, p_x2])
        y.append(p_y)

    return x, y

# 先随机生成一条直线
w_ideal = np.random.random_sample(1) * 10 - 5
b_ideal = np.random.random_sample(1) * 10 - 5

x = np.linspace(-10, 10, 1000)
line_ideal = w_ideal * x + b_ideal
# 搭建数据集
sample_x, sample_y = sample_point(w_ideal, b_ideal, 500)

为了更加直观，我们可以将这些点用 matplotlib来可视化一下

# 可视化
plt.xlim(xmax=-10, xmin=10)
plt.ylim(ymax=-10, ymin=10)
plt.plot(x, line_ideal, 'g', linewidth=10)
for i, p_x in enumerate(sample_x):
    if sample_y[i] == 1:
        plt.scatter(p_x[0], p_x[1], c='r', alpha=0.3)
    else:
        plt.scatter(p_x[0], p_x[1], c='b', alpha=0.3)
plt.show()

我们会得到下面这张图片，

其中绿色的那条线，就是实际情况下可以区分红蓝点的直线。

下面我们要做的，就是假装不知道这条直线的参数，即代码中的w_ideal和b_ideal，看看我们能否从数据集中获得我们估计出来的参数，即w_est和b_ideal。
(有人可能要问了，我们上面不是说三个参数$({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2)$吗？怎么又变成估计两个参数了？不着急，后面会有介绍)。

模型训练

模型训练的理论支持

回到我们的问题，如何根据点的横纵坐标来实现点颜色的分类？

为了能够实现这个预测功能，我们知道，我们需要训练$3$个参数$({\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2)$。
假设我们现在有了这么一组参数$({\theta }_0^{\prime },{\theta }_1^{\prime },{\theta }_2^{\prime })$，如何衡量这一组参数的好坏呢？如果这一组参数还不够好，我们如何去优化这些参数呢？

于是，我们需要定义一个损失函数，用来衡量这个参数的好坏，并利用损失函数的梯度，将损失函数极小化。

损失函数的定义

直观来讲，一组好的参数应该满足不误分一个点，所以将分错点的个数作为损失函数是一个合理的想法。那么误分的点有什么特点呢？
$$y_i\cdot (\sum _{j=1}{\theta }_j{x}_{ij}+{\theta }_0)\le 0$$
对于第$i$个样本而言，

• 当样本点为蓝色时，$y_i=-1$，却被误分为红色，也就是${\sum }_{j=1}{\theta }_j{x}_{ij}+{\theta }_0\ge 0$。
• 当样本点为红色时，$y_i=+1$，却被误分为蓝色，也就是${\sum }_{j=1}{\theta }_j{x}_{ij}+{\theta }_0\le 0$。

综上，我们损失函数被定义为
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(\theta )& =-\sum _{x_i\in M}{y}_i\cdot (\sum _{j=1}{\theta }_j{x}_{ij}+{\theta }_0)\\ & =-\sum _{x_i\in M}{y}_i\cdot (\theta x_i)\end{array}$$
其中$M$为被误分点的集合，$\theta x_i={\sum }_{j=0}{\theta }_j{x}_{ij}，x_{i0}=1$。

利用损失函数优化参数

感知机学习算法是误分类驱动的，具体采用随机梯度下降法。我们首先随机选取一组参数$\theta$，然后利用梯度下降法不断地极小化目标函数。

• 这里的极小化过程不是一次使所有误分类点的梯度下降，而是来一次随机选取一个误分类点使其梯度下降
• ${▽}_{\theta }\mathcal{L}(\theta )=-{\sum }_{x_i\in M}{y}_i{x}_i$
• 随机选择一个误分类点，利用这个点对参数进行优化
  • $\theta \leftarrow \theta +\eta y_i{x}_i$
  • $\eta$是学习率，取值范围为$[0,1]$

Python代码的实现

def perceptron(x, y, lr, t) -> Tuple[np.ndarray, List[int]]:
	"""
	x: 点坐标
	y: 理想输出，+1 或 -1
	lr: learning rate, 学习率
	t: 参数优化次数
	返回：训练完的参数，每次优化前误分类点的个数
	"""
	# 初始化参数
    theta = np.zeros((len(x[0])+1, 1))
    error_list = []  # 误分点列表

    # 开始训练
    for _ in range(t):
        error_count = 0
        error_index = []
        for i, x_i in enumerate(x):
            y_i = theta[0] * x_i[0] + theta[1] * x_i[1] + theta[2]
            # 如果该点被分类错误
            if y_i * y[i] <= 0:
                error_index.append(i)
                error_count += 1
            # print(theta)
        error_list.append(error_count)
        # 随机选取一个误分类点进行参数优化
        if error_count > 0:
            i = random.choice(error_index)
            theta[0] += lr * y[i] * x[i][0]
            theta[1] += lr * y[i] * x[i][1]
            theta[2] += lr * y[i] * 1

    return theta, error_list

调用perceptron函数即可完成我们感知机的训练，得到一组合适的参数$\theta$，我们可以将它转换为直线参数，转换公式如下：

• $w_{est}=-{\theta }_0/{\theta }_1$
• $b_{est}=-{\theta }_2/{\theta }_1$

并于我们的理想直线参数进行对比（如果样本点较少，可能与理想直线有较大差距。那是因为对于这个样本而言，分辨红蓝点的直线不唯一）。

然后我们再对数据进行可视化，代码如下：

# 根据数据集得到参数
theta, error_list = perceptron(sample_x, sample_y, 0.5, 100)

# 可视化
plt.rcParams['figure.figsize'] = (12.0, 4.0)
plt.subplot(121)
plt.xlim(xmax=-10, xmin=10)
plt.ylim(ymax=-10, ymin=10)
# plt.plot(x, y_ideal)
for i, p_x in enumerate(sample_x):
    if sample_y[i] == 1:
        plt.scatter(p_x[0], p_x[1], c='r', alpha=0.3)
    else:
        plt.scatter(p_x[0], p_x[1], c='b', alpha=0.3)
# 将 theta 转换为直线参数，绘制图像
w_est = - theta[0] / theta[1]
b_est = - theta[2] / theta[1]
print("the estimation of parameter are \n", w_est, "\n", b_est)
y_est = w_est * x + b_est
plt.plot(x, y_est, 'g', linewidth=10)

plt.subplot(122)
plt.plot(np.arange(len(error_list)), error_list, 'g+-')
plt.show()

得到下面这幅图

可以看到绿色的直线很好的将红蓝点分隔开来。
如果运行效果不好（指的是最后还有大量的点被误分），可以通过修改学习率以及优化次数来获得更准确的模型。

完整实验代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
from typing import List, Tuple


def sample_point(w: float, b: float, num: int) -> Tuple[List[List[float]], List[float]]:
    x, y = [], []
    for _ in range(num):
        p_x1 = np.random.random_sample(1) * 20 - 10
        p_x2 = np.random.random_sample(1) * 20 - 10
        p_y = 1 if w * p_x1 + b - p_x2 > 0 else -1
        x.append([p_x1, p_x2])
        y.append(p_y)

    return x, y


def perceptron(x, y, lr, t) -> Tuple[np.ndarray, List[int]]:

    theta = np.zeros((len(x[0])+1, 1))
    error_list = []  # 误分点列表

    # 开始训练
    for _ in range(t):
        error_count = 0
        error_index = []
        for i, x_i in enumerate(x):
            y_i = theta[0] * x_i[0] + theta[1] * x_i[1] + theta[2]
            # 如果该点被分类错误
            if y_i * y[i] <= 0:
                error_index.append(i)
                error_count += 1
            # print(theta)
        error_list.append(error_count)
        if error_count > 0:
            i = random.choice(error_index)
            theta[0] += lr * y[i] * x[i][0]
            theta[1] += lr * y[i] * x[i][1]
            theta[2] += lr * y[i]

    return theta, error_list


def all_code():
    # 生成散点图
    w_ideal = np.random.random_sample(1) * 10 - 5
    b_ideal = np.random.random_sample(1) * 10 - 5
    print("the ideal parameter are \n", w_ideal, "\n", b_ideal)

    x = np.linspace(-10, 10, 1000)
    # line_ideal = w_ideal * x + b_ideal
    # 搭建数据集
    sample_x, sample_y = sample_point(w_ideal, b_ideal, 500)

    # 根据数据集得到参数
    theta, error_list = perceptron(sample_x, sample_y, 0.5, 100)

    # 可视化
    plt.rcParams['figure.figsize'] = (12.0, 4.0)
    plt.subplot(121)
    plt.xlim(xmax=-10, xmin=10)
    plt.ylim(ymax=-10, ymin=10)
    # plt.plot(x, y_ideal)
    for i, p_x in enumerate(sample_x):
        if sample_y[i] == 1:
            plt.scatter(p_x[0], p_x[1], c='r', alpha=0.3)
        else:
            plt.scatter(p_x[0], p_x[1], c='b', alpha=0.3)
    w_est = - theta[0] / theta[1]
    b_est = - theta[2] / theta[1]
    print("the estimation of parameter are \n", w_est, "\n", b_est)
    y_est = w_est * x + b_est
    plt.plot(x, y_est, 'g', linewidth=10)

    plt.subplot(122)
    plt.plot(np.arange(len(error_list)), error_list, 'g+-')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    all_code()

参考资料

• 《统计学习方法》
• Implementing the Perceptron Algorithm in Python