魔鬼训练第四天作业

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11. 图与网络

11.5 作业
1、画出该图的邻接矩阵

$$\mathbf{E}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

2、定义无向网络.
Definition 11.3 An undirected net is a tuple $G=(\mathbf{V},w)$ where $\mathbf{V}$ is the set of nodes, and $w:\mathbf{V}\times \mathbf{V}\to \mathbb{R}$ is the weight function where $w(v_i,v_j)$ is the weight of the arc$⟨v_i,v_j⟩$, and $w(v_i,v_j)=w(v_j,v_i)$.

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12. 树

12.4 作业
1、自己画一棵树, 将其元组各部分写出来 (特别是函数 $p$ ).
2、针对该树，将代码中的变量值写出来(特别是parent数组).

首先是树的定义：
Let $\varphi$ be the empty node, a tree is a triple $T=(\mathbf{V},r,p)$ where

• $\mathbf{V}\ne \varnothing$ is the set of nodes;
• $r\in \mathbf{V}$ is the root node;
• p : V → V ∪ { ϕ } p : \mathbf{V} \to \mathbf{V} \cup \{\phi\} p:V→V∪{ ϕ} is the parent mapping satisfying
  • $p(r)=\varphi$;
  • $\forall v\in \mathbf{V},\exists 1n\ge 0,$ st.$p^{(n)}(v)=r$.

对于上图的树,定义中的元组各部分具体为：
V = { v 0 , v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 , v 7 , v 8 , v 9 } \mathbf{V}=\{v_0, v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6, v_7, v_8, v_9\} V={ v0​,v1​,v2​,v3​,v4​,v5​,v6​,v7​,v8​,v9​}.
$r=v_0$.
$$\begin{gathered} p^{(0)}(v_0)=v_0, \\ {p}^{(1)}(v_1)=v_0,p^{(1)}(v_2)=v_0,p^{(1)}(v_6)=v_0, \\ {p}^{(2)}(v_3)=v_0,p^{(2)}(v_7)=v_0,p^{(2)}(v_8)=v_0,p^{(2)}(v_9)=v_0, \\ {p}^{(3)}(v_4)=v_0,p^{(3)}(v_5)=v_0. \end{gathered}$$

针对该树，代码中各变量的值为：
n = 10,
root = 0,
parent[0]=-1, parent[1]=0, parent[2]=0, parent[3]=2, parent[4]=3, parent[5]=3, parent[6]=0, parent[7]=6, parent[8]=6, parent[9]=6,

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13. m叉树

13.4 作业

• 画一棵三叉树, 并写出它的 child 数组.
• 按照本贴风格, 重新定义树. 提示: 还是应该定义 parent 函数, 字母表里面只有一个元素.
• 根据图、树、 $m$-叉树的学习, 谈谈你对元组的理解.

首先是$m$-叉树的定义：
Let $\varphi$ be the empty node, an $m$-tree is a quadruple $MT=(\mathbf{V},r,\Sigma ,c)$ where

• $\mathbf{V}$ is the set of nodes;
• $r\in \mathbf{V}$ is the root node;
• c : ( V ∪ { ϕ } ) × Σ ∗ → V ∪ { ϕ } c : (\mathbf{V} \cup \{\phi\}) \times \Sigma^* \to \mathbf{V} \cup \{\phi\} c:(V∪{ ϕ})×Σ∗→V∪{ ϕ} satisfying
  • $\forall v\in \mathbf{V},\exists 1s\in {\Sigma }^{\ast }$ st.$c(r,s)=v$.

1） 一个三叉树如下：

因此，定义 Σ = { 1 , 2 , 3 } \Sigma =\{1,2,3\} Σ={ 1,2,3} 分别表示孩子结点的三个方向.
所以 child 数组为：
{ {1, 2, 3}, {4, 5, -1}, {-1, 6, -1}, {-1, -1, -1}, {-1, -1, -1}, {-1, -1, -1}, {-1, -1, -1}}.
child 矩阵为：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& -1\\ -1& 6& -1\\ -1& -1& -1\\ -1& -1& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right]$$

2. let $\varphi$ be the empty node, a tree is quadruple $T=(\mathbf{V},r,\Sigma ,c)$ where

• $\mathbf{V}\ne \varnothing$ is the set of nodes;
• $r\in \mathbf{V}$ is the root node;
• $\Sigma$ is the alphabet, and Σ = { 1 } \Sigma =\{1\} Σ={ 1};
• p : ( V ∪ { ϕ } ) × Σ ∗ → V ∪ { ϕ } p : (\mathbf{V} \cup \{\phi\}) \times \Sigma^* \to \mathbf{V} \cup \{\phi\} p:(V∪{ ϕ})×Σ∗→V∪{ ϕ} satisfying
  • $\forall v\in \mathbf{V},\exists 1s\in {\Sigma }^{\ast },$st.$p(v,s)=r$.

3. 元组是可以把看似没有关系或者关系跟弱的对象联系在一起，并且存到一个容器中.