线段树结构
线段树的每个节点都存储着一个线段，在Java中，该线段泛指数组区间。
根节点的范围最广，是整个数组；
其左儿子是整个数组的左半部分，其右儿子是整个数组的右半部分；
以此类推，每个子节点都是它父节点的一半；
直到最后的叶子节点，区间只有一个元素。
如下有一个数组，和它对应的线段树：
用二分法构建出来的树有啥用？
对于数组容器，要想修改某一位置的元素，可以通过索引直接定位，复杂度O(1)；
但是，想要查找某元素，复杂度为O(n)；
对于修改元素，数组的O(1)要快于二分的O(log n)，
对于查找元素，二分的O(log n)要快于数组的O(n)。
线段树，就是以二分的方式，中和了修改、查找的平均复杂度，毕竟使用数组这种容器，多数都是用来遍历，查找的，特别是在频繁查询，数组容量又特别大的情况下，O(log n)要明显快于O(n)的。
示例
对于上述的数组 [1，3，5，7，9，11] 现在有两个操作
- 随机修改其中的一个元素
- 统计任意区间内元素之和
方式一
什么也不做，直接使用原生方式实现
int[] array = {
1, 3, 5, 7, 9, 11};
//修改元素
void modify(int index, int newValue){
array[index] = newValue;
}
//查询元素
int sum(int start, int end){
int sum = 0;
for(int i = start; i <= end; i++){
sum += array[i];
}
return sum;
}
这种方式修改的复杂度为O（1），求和的复杂度是O（n）；
对于修改m次，复杂度升级为O（m），求和复杂度升级为O（nm）。
方式二
使用额外的数组，每个位置记录之前所有元素之和
int[] array = {
1, 3, 5, 7, 9, 11};
int[] addSum;
//预先初始化
void init(){
addSum = new int[array.length];
addSum[0] = array[0];
for(int i = 1; i < array.length; i++){
addSum[i] = addSum{
i - 1} + array[i];
}
}
void modify(int index, int newValue){
array[index] = newValue;
}
int sum(int start, int end){
return addSum[end] - addSum[start] + array[start];
}
这样看上去貌似实现了修改和查询都是O（1），但是，如果先修改0号索引的值，再次查询之前，就需要将addSum数组整个翻新，复杂度又升为O（n）。
方式三
构建线段树，使每个节点保存当前区间的和，相当于分段保存元素之和
1.初始化
线段树不是真的树，它是用数组模拟出来的，有点像二叉堆。
那我们需要创建多长的初始数组呢？这个和原始数组大小有关，找规律可以得出原始数组元素个数与所需 “节点” 数量，有如下关系
| 原始数组长度 | 最多节点个数 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3~4 | 7 |
| 5~8 | 15 |
| …… | …… |
| 2n-1+1 ~ 2n | 2n+1 - 1 |
上面的关系用笨方法（不会位运算）可以这么做
//@nums：原始数组长度
//@return：最多需要多少“节点”
int treeNodes(int nums){
for(int i = 1; ; i <<= 1)
if(i >= nums)
return 2 * i - 1;
}
于是就完成了第一步——开辟树数组
private int[] array = {
1, 3, 5, 7, 9, 11};
private int[] tree;
public void initTree(){
tree = new int[treeNodes(array.length)];
}
private int treeNodes(int nums){
for(int i = 1; ; i <<= 1)
if(i >= nums)
return 2 * i - 1;
}
2.构建线段树
接下来构建线段树（往tree数组里填值）
- 按上图给节点编号，如果令当前节点的编号为
a，那么左儿子的编号就是2a + 1，右儿子的编号是2a + 2。注意：灰色节点只是占位用的，不是真实存在的 - 线段树的叶子节点恰好是原始数组的某个值
tree数组的索引 对应array数组的区间
根据以上三点，就可以构建出线段树啦
/**
* @start @end 控制array数组区间索引
* @index tree数组的索引，与[start, end]对应，可观察上图
*/
private void buildTree(int start, int end, int index){
//区间只剩一个元素，说明到达了叶子节点
if(start == end){
tree[index] = array[start];
}else{
//二分
int mid = (start + end) / 2;
//计算tree当前索引的 左、右儿子的索引
int left = 2 * index + 1;
int right = 2 * index + 2;
buildTree(start, mid, left);
buildTree(mid+1, end, right);
//回溯加和
tree[index] = tree[left] + tree[right];
}
}
此段代码难点在于递归函数的理解和回溯加和的操作，用文字表述其过程就是
首先不断二分，直至区间只剩一个元素，此时该区间必然对应线段树的叶子节点——走if代码块，随后递归回溯；
当left、right都回溯完毕，证明当前节点的左、右两个儿子都已经存好了值，作为他们的父节点，我只需加和即可；之后当前函数结束，为上级调用者加和做准备。
至此，线段树构建完毕，需要额外的空间 O(2n)
3.修改操作
修改操作，即修改线段树的叶子节点，但是别忘了，还要更新该叶子节点到根节点的和（访问该叶子节点的整条路径）。
/**
* @start @end 控制array区间的索引
* @index tree数组与[start, end]对应的索引
* @oriIndex array数组待更新的索引位置
* @val array[oriIndex]的新值
*/
public void update(int start, int end, int index, int oriIndex, int val){
//如果区间只剩一个元素——走到了叶子节点的位置
if(start == end){
tree[index] = array[oriIndex] = val;
}else{
int mid = (start + end) / 2;
int left = 2 * index + 1;
int right = 2 * index + 2;
//如果oriIndex在左半部分
if(oriIndex <= mid){
update(start, mid, left, oriIndex, val);
}else{
update(mid+1, end, right, oriIndex, val);
}
//回溯更新路径节点
tree[index] = tree[left] + tree[right];
}
}
更新路径的节点不会花费额外的时间，因为更新操作是回溯过程中顺便就完成了的。
因此修改单个元素的时间花费为O（log n）
4.求和操作
有时线段树可以显著提升区间查询的速度，这得益于它分段保存元素之和的特点；
对于此示例而言，如果要查询[2, 4]之间的和，我们只需遍历如下的绿色节点即可
注意第三层的绿色节点，区间 [3, 4] 恰好是所求区间 [2, 4]的完全子区间，这样就可以直接返回该节点的值，而无需继续遍历它的子节点。
/**
* @start @end 控制array区间的索引
* @index tree数组与[start, end]对应的索引
* @from @to 查询区间
*/
public int sum(int start, int end, int index, int from, int to){
//如果当前区间完全偏离查询区间，直接返回——①
if(start > to || from > end){
return 0;
}
//如果查询区间完全包含当前区间，直接返回
if(from <= start && to >= end){
return tree[index];
}
//二分查找
int mid = (start + end) / 2;
int left = 2 * index + 1;
int right = 2 * index + 2;
return sum(start, mid, left, from, to) + sum(mid+1, end, right, from, to);
}
对于注释中的①再用图来直观的显示一下
如图，当 [start, end] 与 [from， to] 毫无重叠时，就不必继续二分搜索了。
学习总结
以上用了简单的例子，引出了线段树这种数据结构，实际上，线段树的应用非常灵活，对于处在数据结构与算法边缘的小白我，能实现一颗线段树已经迈出了 “艰难的” 第一步，离灵活运用还有很长的路要探索。
第一次写博客，自己都觉得有些地方描述逻辑不通，缺乏层次结构，还望大家多多指出错误和优化。