【LeetCode】#222 完全二叉树的节点个数 算法分析

题目链接：222. 完全二叉树的节点个数

思路1 递归

这个就不多说了，毕竟各位年轻人不讲码德，笔者在此点到为止。

代码

★ C/C++

class Solution {
    
    
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
    
    
        if(!root)
            return 0;
        int left = countNodes(root->left);
        int right = countNodes(root->right);
        return left + right + 1;
    }
};

算法分析

时间复杂度：$O(n)$ 设节点数为 $n$，考虑最坏情况下，完全二叉树为满二叉树，算法运行时间 $T(n)=2T(\frac{n-1}{2})+O(1)$，我们将它放大为：$T(n)\le 2T(\frac{n}{2})+O(1)$，符合主定理的 $Case1$ (主定理的描述见此链接的"知识梳理"部分)，即 $T(n)=O(n)$；另一个角度，由于需要访问树中所有节点，每次访问开销为 $O(1)$，故总开销为 $O(n)$。

空间复杂度：$O(lgn)$ 空间开销主要为系统栈的开销，由于采用的是深度优先策略，故系统栈最大开销时对应 树的高度，对于完全二叉树而言，最好、最坏、平均情况均为 $O(lgn)$ (可以想想为什么)。

当然，也可以采用广度优先策略，这里就不多说了，详见 LeetCode 题解。

思路2 二分查找

充分利用 完全二叉树 的性质：高度为 $h$ 时，第 $i\in [0,h-1]$ 层节点数达到最大值 $2^i$，第 $h$ 层节点 全部靠左，数目在 $[1,2^h]$ 之间。

由此，如果我们知道了 树的高度 $h$， 那么除了最后一层外其余层的节点数我们可以在 $O(1)$ 时间内计算出来。对于完全二叉树，树的高度可以从获取 最左边的节点 来得知， 这个过程的时间开销为 $O(lgn)$。

有了树高 $h$，我们就可以利用 完全二叉树 的性质，自顶向下、自左向右 地对各个节点进行 编号：$1,2,3,...,k$， 其中 $k$ 总节点数，为编号为 $k$ 的节点， $k\in [2^h,2^{h+1}-1]$，然后我们需要解决的最后一个问题是：确定 $\lceil$ 编号为 $k$ 的节点存在时 $\rfloor$ $k$ 的最大值。

一个简单的方式：从同高度满二叉树的最大编号开始，按照递减的编号顺序，检验此编号的节点是否在该树中存在。从以上算法的描述中，我们可以注意到这个过程有两步，且很容易获得它们的时间开销：

• 确认编号 $\to$ $O(n)$
• 检查编号是否存在 $\to$ $O(lgn)$

这样我们的算法总开销反而比 $\lceil$ 思路一 $\rfloor$ 还高，为 $O(nlgn)$。因此，我们可以分别分析以上两个步骤，看看是否存在优化的空间。

1. 根据完全二叉树的性质，最后一层的编号是从左到右 连续 的，具有 随机存取 特性，因此我们可以采用 二分查找 替换 线性查找，使得复杂度降至 $O(lgn)$。

2. 我们来讨论 $\lceil$ 检验编号是否存在 $\rfloor$ 这一算法的实现方案，实际上，我们可以根据 编号的二进制编码 来找寻树中对应节点，采用这种方式的依据是：树为完全二叉树，编号对应的二进制数与节点的位置之间存在明确的联系 —— 节点对应的二进制数从 按高位的第2位 开始，每一位对应 0 或 1 ，可以分别映射为 向左节点移动 或 向右节点移动，这对于除了第 $0$ 层外任意层的节点来说都成立。

   以一个高度为 3 的完全二叉树为例，每个编码确实符合以上述映射关系。

             1               1
   		/   \
   	   2     3            10, 11
   	  / \    /\
   	 4   5  6  7    	  100, 101, 110, 111
   	/\  /
      8 9 10	              1000, 1001, 1010
   

   可能有年轻人会问，为什么只有完全二叉树可以，其他类型的树不行呢？

   我的理解是：其他类型树的节点编号没有上述那么明确的映射关系，即编号的二进制编码不能指导我们找到节点所在位置；至于完全二叉树，它是满二叉树于最后一层从右向左依次剔除一些节点后形成的树。 满二叉树标识了特定规模问题的 全集，假定问题规模为 $n$，则全集中非空子集的总数为 $2^n-1$，也就是满二叉树的节点总数。而根据二项式定理，我们有：
   $$2^n=(1+1{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\times 1_a^{n-i}\times 1_b^i$$

   式中的 $1_a$、$1_b$ 构成了两种不同的状态，我们利用这两种状态，分别模拟 向左子树移动 和 向右子树移动 …

   大意了，扯远了。这段我这个老同志自己也没搞得很清楚，这些都是瞎哔哔的，就当图一乐了（若有哪位年轻人能解释清楚，欢迎在评论区分享~ ），但至少知道这么编码可行就好了。

   确定了编码方案可行，再来看看这个算法的具体过程。可以举个具体例子：你可以想象有一只蜘蛛位于一个树形蜘蛛网上（见上一个图例），它想要确认编号 $10$ 的网节点是否存在，于是从根节点出发，然后根据 $10$ 的二进制编码 $1010$ 来找寻，从第 $2$ 位起：

   1. 首先取第 $2$ 位， 即 $1010\&0100=0$，故往左节点爬向 节点 $2$；
   2. 然后取第 $3$ 位， 即 $1010\&0010=1$，故往右节点爬向 节点 $5$；
   3. 最后取第 $4$ 位， 即 $1010\&0010=0$，故往左节点爬向 节点 $10$。
   4. 发现 节点 $10$ 是存在的，那么蜘蛛就可以安心返回了 ；然而，节点 $10$ 并不存在，是蜘蛛看错了；那怎么办… 关我P事，我只关心能不能找到这个节点（至少在这个算法内，是或否不重要），蜘蛛只是个 “工具蛛” 而已。 =3=
   
   

   按照上述过程来实现算法是非常简单的，详见代码的 exists() 函数，或去看官方题解，这里就不作赘述了。(虽然是用 Python3 写的，但基本思路不会随语言而变化，改用其他语言实现是很容易的)

代码

★ Python3

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
	'''利用完全二叉树的编码特性，判断第k个节点是否存在'''
    def exists(self, root: TreeNode, level: int, k: int) -> bool:
        bits: int = 1 << (level-1)
        while root and bits > 0:
            if (k&bits) > 0:
                root = root.right
            else:
                root = root.left
            bits >>= 1
        return root != None
                
    def countNodes(self, root: TreeNode) -> int:
        if not root:
            return 0
        node: TreeNode = root
        level: int = 0
        while node.left:
            level += 1
            node = node.left
        low: int = 1 << level
        high: int = (1 << (level+1)) - 1
        while low < high:
            mid: int = (low+high+1) // 2
            if self.exists(root, level, mid):
                low = mid
            else:
                high = mid-1
        return low    

说明：

1. 注意运算符优先级!（没错，我说的就是(1 << (level+1)) - 1 ，其中的括号一个都不能少；还有按位与)

   方便起见，我把百度百科上的优先级表搬了过来，省去年轻人 $O(1)$ 的查找时间（笑）：

   

2. 二分查找 low = mid，high = mid-1 以及 返回值 别弄错了

算法分析

时间复杂度：$O(l{g}^{2}n)$ 时间开销主要在二分查找的代码块中，二分查找开销为 $\Theta (lgn)$，其中每一轮都有一个检查节点是否存在的过程，因为检查的是最后一层的节点，故开销为 $\Theta (lgn)$，因此总开销为 $O(lgn\times lgn)$。

空间复杂度：$O(1)$

最后，可能又有年轻人问了：你这冗长而丑陋的 $O(l{g}^{2}n)$，难道比我 递归 的 $O(n)$ 要快吗？

没有错哈。这里，我作为讲码德的老同志，先给个结论：
$$\begin{gathered} 对于任意常量\alpha >0,恒有：l{g}^{b}n=o(n^{\alpha }) \\ ⟺\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{l{g}^{b}n}{n^{\alpha }}=0，其中b为任意实常量 \end{gathered}$$

具体的证明 $\lceil$ 非常复杂 $\rfloor$ ，就先交给各位年轻人了。（证明可见《CLRS》第三版 原版 P55-P57 或 中文版 P32-P33）

最后的最后，劝各位年轻人耗子尾汁，多讲码德，不要再犯 $\lceil$ 思路一 $\rfloor$ 这种小聪明，不要老在自己的 $\lceil$小天地 $\rfloor$ 里搞窝里斗，来骗，来偷袭，我这种 $10101$ 岁的老同志。

谢谢朋友们 (\抱拳)

笔者水平有限，如果描述有什么不妥的地方，欢迎各位大佬在评论区批评指正~




…

…

…

仔细想想，算了，还是给各位年轻人省去查找的时间，在这里简单地证明一下吧。

$$\begin{gathered} 对于所有使得a>1的实常量a和b， \\ 多项式的增长比不过指数：\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^b}{a^n}=0 \\ 我们用lgn替代上式的n，用2^{\alpha }替代a(\alpha >0) \\ 从而有\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{l{g}^{b}n}{n^{\alpha }}=0，证毕 \end{gathered}$$