图形学笔记（十四）光线追踪4——蒙特卡洛（Monte Carlo）积分、路径追踪详细过程（Whitted-Style的问题于RR（俄罗斯轮盘赌）算法、Ray Generation）、照片级真实感渲染

图形学笔记（十三）光线追踪3——双向反射分布函数BRDF（反射方程、递归方程）、辐射度量学基础radiometry、立体角、Radiant Energy、Flux、Irrdiance、Radiance
图形学笔记（十五）材质和外观 —— 菲涅尔项、常见材质（微表面材质、各向同性与各向异性）、BSDF、BRDF的性质、测量BRDF

1 蒙特卡洛（Monte Carlo）积分

1.1 用处

蒙特卡洛（Monte Carlo）积分目的是解决定积分，但是它难以积分（不定积分不好求）。

1.2 方法

1.2.1 基本思想

在积分域内不断采样，获得y值，不断的与ab范围获得一个个长方形，然后把所有长方形的面积相加求平均。

1.2.2 过程

对于给定函数$f(x)$的定积分，定义蒙特卡洛（Monte Carlo）积分。

首先有定积分
$${\int }_a^{b}f(x)dx$$
然后不断的取样，对于每个取样点有$$X_i\sim p(x)$$
最后获得每个采样点的$f(x_i)$值，作为长方形的高，然后按照下面的式子相加评分就获得了Monte Carlo方程。
更通用的形式：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f(X_i)}{p(x_i)}{X}_i\sim p(x)$$

注意

• N越大，得到的结果越精确。
• 在x上积分就一定要在x上取样。

1.2.3 例子

假如有一个均匀分布的变量。
$$X_i\sim p(x)$$

计算a到b的积分，有
$${\int }_a^{b}p(x)dx=1=>\int Cdx=1=>C=\frac{1}{b-a}$$
如果使用Monte Carlo积分来计算，有如下方程：

$$F_N=\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}f(X_i)$$

2 路径追踪（Path Tracing）

2.1 动机：改进Whitted-Style Ray Tracing

Whitted-Style Ray Tracing对光线进行了如下假设：

• 总是进行镜面反射和折射
• 光线在漫反射面停止跳跃

2.1.1 Whitted-Style Ray Tracing存在的问题

问题1 如下是Mirror reflection和Glossy reflection，但是对于打到Glossy的物体上的光线，传播的路径不能与Specular完全相同。

问题2 对于漫反射物体，如果光线传播到它的表面上，那么还是会有光线传播的，不应该停止。

color bleeding：面的颜色流到其他的面上去。 就像上方右图高长方体的左面被全局光照映照出红色。

2.1.2 Whitted-Style Ray Tracing问题的解决办法

Whitted-Style Ray Tracing是错的，但是渲染方程是正确的。
$$L_o(p,{\omega }_0)=L_e(p,{\omega }_o)+{\int }_{{\Omega }^{+}}{L}_i(p,{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)(n\cdot {\omega }_i)d{\omega }_i$$

但是此方程涉及

• 解半球的积分
  解决方法：使用Monte Carlo积分解渲染方程的积分。
• 递归
  解决方法：使用俄罗斯轮盘法来结束递归。

2.2 使用Monte Carlo积分解渲染方程的积分

2.2.1 步骤

目的：渲染下面场景的一像素的直接光照。

${\omega }_o$:观测方向，从着色点到观测方向。
${\omega }_i$:各个不同的入射的方向。

先忽略渲染方程的发光项：
$$L_o(p,{\omega }_0)={\int }_{{\Omega }^{+}}{L}_i(p,{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)(n\cdot {\omega }_i)d{\omega }_i$$

1. 由Monte Carlo积分$${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f(X_i)}{p(x_i)}{X}_i\sim p(x)$$
2. 寻找f(x)
   $$f(x)=L_i(p,{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)(n\cdot {\omega }_i)$$
3. 寻找pdf
   $$p({\omega }_i)=\frac{1}{2\pi }$$
4. 得到方程
   $$L_o(p,{\omega }_o)\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{L_i(p,{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)(n\cdot {\omega }_i)}{p({\omega }_i)}$$
5. 引入间接光照（即来源于物体反射的光照）：在p点收到的Q点反射来的光照相当于，以p为观测点，Q为着色点的着色结果，所以有L_i=shade(q,-wi)。
   

对于只考虑直接光照，获得算法如下，

shade(p,wo)
	随机选择wi~pdf的N个方向
	Lo=0.0
	for 每个wi
		追踪一个光线r(p,wi)
		if 光线打到了光源
			Lo += (1/N)*L_i*f_r*cosine / pdf(wi)
		else if r达到了一个物体上的q点
			Lo += (1/N)* shade(q,-wi)*f_r*cosine / pdf(wi)			
	Return Lo
	

2.2.2 路径追踪解决光线数量爆炸

使用上面的方法，由于光线跳跃多次，光线的数量会爆炸（有递归）：$rays=N^{bounces}$

解决方法 令N=1，即每次只选取wi~pdf的一个方向。

路径追踪就是上面N=1的算法 ，即每次路径追踪只是随机选择一个方向反射。

shade(p,wo)
	随机选择wi~pdf的1个方向
	追踪一个光线r(p,wi)
	if 光线r打到了光源
		Return L_i*f_r*cosine / pdf(wi)
	else if r达到了一个物体上的q点
		Return shade(q,-wi)*f_r*cosine / pdf(wi)			

但是噪声会很大。但是只要对每个像素trace more paths并求它们radiance的平均就可以减少噪声。如下所示。

2.2.3 Ray Generation

为了减少噪声，所以每个像素要生成多个光线，进行多次路径追踪，光线生成算法如下。

ray_generation(camPos,pixel)
   在像素中平均的选取N个采样点
   pixel_radiance = 0.0
   For 对于像素中的每个采样点
   	射出一条光线r(camPos,cam_to_sample)
   	如果光线击中了场景中的p点
   		pixel_radiance += 1 / N * shade(p, sample_to_cam)
   Return pixel_radiance

2.3 使用俄罗斯轮盘（RR）解决递归算法停不下来

问题 虽然现实中的光源跳跃也不会停，但是不停的话递归就无法结束。

解决方案 Russion Roulette(RR)俄罗斯轮盘赌。

2.3.1 RR方法概述

设定一个概率，0<P<1。

• 有概率P，射出光线并且返回着色结果$L_o/P$
• 有概率1-P不射出光线，并返回结果0

用这种方法，仍然可以期望得到值$L_o$。
$$E=P\ast (L_o/P)+(1-P)\ast 0=L_o$$

2.3.2 RR方法改进后的路径追踪算法

进行如上改进后，得到的代码如下。

shade(p,wo)
	手动指定一个概率 P_RR
	在均匀分布[0,1]范围内随机选择ksi。
	if(ksi>P_RR) return 0.0;

	随机选择wi~pdf的1个方向
	追踪一个光线r(p,wi)
	if 光线r打到了光源
		Return L_i*f_r*cosine / pdf(wi) / P_RR
	else if 光线r达到了一个物体上的q点
		Return shade(q,-wi)*f_r*cosine / pdf(wi)	/ P_RR

这样就能保证递归可以停止。

2.4 提高Path Tracing的效率

问题 经过以上改进，现在路径追踪算法是正确的了，但是它不高效。

如下图所示，如果均匀的四面八方采样，对于很多光线只有极少数打到光源，大部分都被浪费掉了。

所以我们直接在光源上采样，pdf=1/A，但是渲染方程的积分是在立体角上进行的$L_o=\int Lifrcosd\omega$。

由于Monte Carlo方程要求在哪里积分就在哪里取样，所以只要把$d\omega$转变成对dA积分即可。

我们得到立体角和光源面积微分$dA$的关系如下：
$$d\omega =\frac{dA\cos {\theta }^{\prime }}{||x^{\prime }-x|{|}^2}$$

然后重写渲染方程：
$$L_o(x,{\omega }_o)={\int }_A{L}_i(x,{\omega }_i)f_r(x,{\omega }_i,{\omega }_o)\frac{\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }}{||x^{\prime }-x|{|}^2}dA$$

现在我们认为着色结果来源于两部分：

1. 光源的贡献（直接采样光源，无需RR）
2. 其他反射（indirect，需要RR）

优化后将这两部分结合的代码如下。

再考虑另一个问题，如果光源和着色点之间被物体遮挡，则直接返回0。
至此Path Tracing算法完成。

2.5 Path Tracing的特点

缺点 路径追踪不好处理点光源。

优点 Path Tracing可以做到照片级真实感PHOTO-REALISTIC（如下所示）。

3 Raytracing的概念区分

早期

• Ray tracing==Whitted-style ray tracing

现代

• 包含所有光线传播方法的集合
• （单向/双向）path tracing
• 光子映射 Photon mapping
• Metropoils light transport
• VCM / UPBR