问题
如题目
解决
绳子题变体太多了，常见的就是随机分三段组成三角形的概率，这个通过画图可解，答案 1 4 \frac{1}{4} 41，就不多介绍了，主要介绍最长一段的期望。
假设三段长度从小到大依次为： a , a + b , a + b + c a,a+b,a+b+c a,a+b,a+b+c，绳子总长为： a + a + b + a + b + c = 3 a + 2 b + c a+a+b+a+b+c=3a+2b+c a+a+b+a+b+c=3a+2b+c
由于 a , b , c a,b,c a,b,c 都是不小于0的数，他们的最大值是相同的，所以上界就是3、2、1的最小公倍数6
假设三个变量分别来自不同的均匀分布： a ∼ U ( 0 , 2 k ) , b ∼ U ( 0 , 3 k ) , c ∼ U ( 0 , 6 k ) a\sim U(0,2k),b\sim U(0,3k),c\sim U(0,6k) a∼U(0,2k),b∼U(0,3k),c∼U(0,6k)，用期望代表每个变量，可以绳子总长为： 3 ∗ k + 2 ∗ 1.5 k + 3 k = 9 k , k = 1 9 3*k+2*1.5k+3k=9k,k=\frac{1}{9} 3∗k+2∗1.5k+3k=9k,k=91，因此最长一段的期望为： k + 1.5 k + 3 k = 5.5 k = 11 18 ≈ 0.611 k+1.5k+3k=5.5k=\frac{11}{18}\approx0.611 k+1.5k+3k=5.5k=1811≈0.611
当然还要最短长度的期望，https://www.zhihu.com/question/30359365