NOI 2021 游记&题解&总结

Travel Notes

Day 0

一天都挺颓的，尤其是晚上打了好几局 Dream League Soccer。

不过这天也成功卡过去了上一场 Div.1+Div.2 的根号分治+整除分块+分块（根号平衡）做法。

晚上出了一道水题，就睡觉了。

Day 1

奇葩，CCF 等到 $10$ 点才发题，我还以为取消了。

发现 A 似乎并不困难，很快就想到了正解，但是非常难写。于是我看了看后面的 B,C，感觉都可以拿分，于是我就决定了——把 A 的 $55$ 分暴力写完走人。然后写了一个半小时之后调试完毕，然后测了下大样例，其中一个顺利通过，另一个 RE。调了半天认为是爆栈（实际上是真的 RE 了），然后就抛掉不管了。

接下来我开了 C。观察了半天那个 $x\to z,y\to z$ 则 $x\to y/y\to z$ 的性质并没有发现什么，反倒是发现了这个性质在 $m=n-1$ 时对应一棵外向树。于是我就分类讨论了 $k=0/1$ 的情况，并通过大样例使自己的情况完备了。同时也写了个暴力，期望有 $44$ 分。

B 首先得到了 $k=2,n_1=10$ 的分。然后想了一会儿，发现可以用匈牙利算法二分图匹配来做掉总数不超过 $1$ 的情况。然后就码了一发，期望有 $40$ 分。

然后比赛就结束了。最后也没什么好干的，感觉已经做到最好了。

口胡总分: $55+40+44=139$
期望总分: $55+40+44=139$
最终得分：$10$$+40+44=94$。

Day 3

CCF 故技重施，8:30->9:00，原因是网站炸了。然而我在 8:56 就在网站上看到了题目的名字。

开场看题，感觉题目很难。

先做了 T2。由于我之前做过一道 LOJ NOI Round 的相似的题，所以我很快就得到了 $50$ 分的做法。然后观察了半天不会正解，于是就写了这 $50$ 分。共写了三个 Subtask，调了两个小时一刻钟才过了几个大样例。

然后开了 T3。看了样例解释，发现可以容斥。扩展到一般情况，我很快得到了 $O(2^n{n}^{2}m)$ 的做法，很快又得到了 $O(n^{2}m+2^{n}n)$ 的做法，可以得到 $28$ 分。然而调了 $2$ 个多小时硬是没调出来，也因此连 T1 的暴力都没写。

最后三分钟，我决定放弃了。T1 总是输出 $0$，T3 就把自己的过不了大样例的代码交上去。

口胡得分: $28+50+28=106$
期望得分: $0+50+0=50$
最终得分: $12+0/50+12=24/74$

T2 把 void 写成了 int，没有返回值，希望 CCF 留命。

Day 3.5

铜牌线 $214$ 分，发现不管怎么样自己都有了。银牌 $310$ 分，要是两天都不犯傻逼错误我不就 Ag 了呀啊啊啊……

最近一直在口胡，所以要好好锻炼一下码力了。

Day 10

出分了，果然 $168$，被 PMOI 队友 ljs 和巨佬 yzh 吊打。

菜啊……菜啊……菜啊……真的滚 Cu 了

Solutions

D1T1

为方便理解，下面用重边表示将树进行重链剖分后每个节点连向重儿子的边，实边表示题目中所谓的重边。

若对样例进行手玩，可以发现——若两个节点 $u,v$ 之间的边是实边，当且仅当 $u,v$ 均被至少一次路径修改覆盖到，且它们上一次被覆盖到的时刻相同。

这启发我们维护一个时间戳来表示每个节点被覆盖的时刻。具体来说，我们先令所有节点权值为 $0$，并在第 $i$ 次路径修改中将 $(u,v)$ 之间的所有点的权值均改为 $i$。这样一来，问题等价于: 路径摊，查询路径上相邻的权值相等的点对数量。

考虑使用树链剖分+线段树维护。

对于线段树上表示区间 $[l,r]$ 的节点，维护 $l$ 的权值 $x$，$r$ 的权值 $y$，以及区间内相邻等权值点对数 $c$。每次 $\text{pushup}$ 的时候，先令 $c$ 为左右儿子的 $c$ 之和，再比对左儿子的 $y$ 以及右儿子的 $x$，若相同且均不为 $1$ 则将当前的 $c$ 再加上 $1$。

对于区间修改，采用形如区间摊为某个数 $v$ 的懒标记维护。下传的时候，令两个儿子的 $x,y$ 均为 $v$，$c$ 均为区间长度减 $1$ 即可。

对于链上修改以及链上查询，套重链剖分的板子即可。注意，也需要考虑两条重链的交界处的贡献，所有还需要进行两次单点查询并进行比对。

时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$，本题被解决。

D1T2

算法一

首先考虑 $k=2$ 的情况。

令 $M_{i,j}$ 表示第一层的 $i$ 是否有边连向第二层的 $j$。则答案即为

$$\sum _p(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }(p)}\prod _{i=1}^n{M}_{i,p_i}$$

其中 $p$ 表示一个长度为 $n$ 的排列，${\sigma }^{\prime }(p)$ 表示 $p$ 的逆序对数。

发现这与行列式的形式一样。因此，答案即为 $M$ 的行列式。

算法二

Lemma

只要固定了从第一层的 $1,2,3,\cdots ,n_1$ 开始的路径的结束点，就固定了交点的奇偶性。更为具体的，若将这些结束点排成一个序列 $p$，那么交点数与 ${\sigma }^{\prime }(p)$ 同奇同偶。

---

定义矩阵 $M$，其中 $M_{i,j}$ 表示从第一行的 $i$ 走到最后一行的 $j$ 的方案数，那么答案就是这个矩阵的行列式。

我们可以通过 $\text{dp}$ 求出 $M$ 中的每个位置的值。具体的，令 $f_{i,j}$ 表示从第一行的 $i$ 走到当前行的 $j$ 的方案数，每次枚举 $j$ 往下一层的出边 $j\to k$ 并将其转移到 $f_{i,k}$。显然，单次转移是 $O(n_1)$ 的，总共有 $O(n_1^3)$ 个状态（注意，上面省略了当前行的编号），所以 $\text{dp}$ 是 $O(n_1^4)$ 的。

时间复杂度 $O(\sum n_1^4)$，本题被解决。

D1T3

算法一

不难发现，一个节点可以被经过，当且仅当 $s$ 可以到达它并且它可以到达 $t$。

对于每次查询，从 $s$ 往外 $\text{dfs}$，并在反图上从 $t$ 往外 $\text{dfs}$ 即可。

时间复杂度 $O(t(n+m))$，竟然可以通过，而且跑得飞快。

算法二

由于 $m=n-1$ 且将该有向图转化为无向图后连通，又因为存在限制（$x\to z,y\to z$ 则 $x\to y$ 或 $y\to x$），所以这是一棵外向树。

对于每一次询问，我们都读入了 $2k+2$ 个节点。我们以这些节点建立虚树，那么一个可以被经过的点一定在虚树的某条边上或是某个点，且一条边上的各个点等价（即要么全部可以被经过，要么全部不能被经过）。

由于 $2k+2$ 最大只有 $6$，因此虚树上最多只有 $12$ 个点和 $11$ 条边，我们直接采用算法一暴力计算即可。

时间复杂度 $O(n\log n+q\log n)$，本题被解决。瓶颈在于虚树中的建立。

算法三

考虑某两条边 $u\to x,v\to x$。根据题意，必然有 $u\to v$ 或 $v\to u$。不妨设 $u\to v$。由于我们只关注图的连通性，而 $u$ 到达 $x$ 有两种方式 $u\to x$ 以及 $u\to v\to x$，所以我们可以直接将边 $u\to x$ 去掉。更进一步的，我们对图进行拓扑排序，我们可以只保留所有连向它的拓扑序最大的点。

这样一来，每个点的入度至多只有 $1$，且至少有一个点（拓扑起点）没有入度。同时，题目中保证，将有向边看成无向边后连通，所以我们得到了一棵外向树。

套用算法二的做法即可。时间复杂度依然是 $O((n+q)\log n)$。

D2T1

首先，将字典中的每个 $256$ 位二进制数拆成 $16$ 个 $16$ 位二进制数。查询的数做同样处理。

不难发现，因为 $k\le 15$，所以询问数的 $16$ 个二进制数中至少有一个完全相同。考虑枚举这一位，并在对应的桶中直接枚举满足条件的数。因为字典是纯随机构造的，所以当相同的二进制数定下来后，期望只有 $\frac{n}{2^{16}}\approx 7$ 个数满足条件，因此期望枚举 $7\times 16=112$ 个数。若可以 $O(1)$ 进行比对，则复杂度 $O(112q)$。

直接暴力比对会将复杂度再乘上 $256$，显然无法通过，需要进行优化。

令当前枚举的这个数的 $16$ 位分别为 $x_1,x_2,\cdots ,x_{16}$，询问数的 $16$ 位分别为 $y_1,y_2,\cdots ,y_{16}$，那么我们需要求出 $(x_1,y_1)(x_2,y_2),\cdots ,(x_{16},y_{16})$ 这些数对分别有多少位不同。不难想到，$(x,y)$ 的不同位数即为 $\text{popcount}(x\oplus y)$，其中 $\oplus$ 表示异或。注意到 $x\oplus y\le 2^{16}$，我们可以预处理出所有在 $[0,2^{16})$ 中的数的在二进制下 $1$ 的位数，每次 $O(1)$ 调用即可。

期望复杂度 $O(7\times 16\times 16\times q)=O(1792q)$，卡线通过。

D2T2

D2T3

咕咕咕

Summary

这一场 NOI 发挥出了自己最真实的水平: 会偶尔挂分，会调试不出代码，一道题也做不出来；会灵光乍现部分分，会拼分 $\cdots \cdots$

然后总结一下今年考了哪些题目以及自己为啥一题也没做出来。

D1T1 考察了树链剖分以及线段树，作为一道签到题，我没有想到最好写的正解，导致当时选择了放弃。

D1T2 是一个裸的 LGV 板子，我没有学过，理应做不出来。

D1T3 是一个性质题，关键在于将图缩成一棵树，然后建立虚树等操作都是考场上想到的。不过我并没有想到这一点，并没有仔细思考 $x\to z,y\to z$ 则 $x\to y$ 或 $y\to x$ 的意义，与正解失之交臂。

D2T1 作为一道随机的题目，思维难度较低，想到拆分成 $16$ 个二进制数并开桶枚举就做完了。然而我被题面惊吓到了，甚至连 $\text{bitset}$ 的暴力都没有调试出来，令人唏嘘。

D2T2 与 LOJ NOI Round #2 D1T1 的第一步相同，我在考场上也成功想到了；然而 W 以及 E 可以被表示为多个矩阵的乘积，同时平衡树维护也是我考场上想不到也做不出来的。

D2T3 难度极大，考察了容斥、dp 以及各种神奇的优化。考场上想到了 $28$ 分做法，但是并没有调试出来。

编号	数据结构	$\text{dp}$	图论	构造	贪心	数学
NOI 2021 D1T1	√		√
NOI 2021 D1T2		√	√			√
NOI 2021 D1T3			√
NOI 2021 D2T1
NOI 2021 D2T2	√					√
联合省选 D1T1	√
联合省选 D1T2			√	√
联合省选 D1T3			√
联合省选 D2T1	√
联合省选 D2T2		√			√
联合省选 D2T3			√
NOI 2020 D1T1			√			√
NOI 2020 D1T2	√	√
NOI 2020 D1T3	√
NOI 2020 D2T1				√
NOI 2020 D2T2			√

在国内比赛中， 最终要的毫无疑问是码力。然后是数据结构与图论，其次是性质分析能力以及 $\text{dp}$。再其次，是构造，数学与贪心；最后是各种神奇的科技（例如 LGV 引理，扩展 KMP 等）。

在本场比赛中，我最终因为挂分原因与 Ag 失之交臂；换言之，如果训练好了码力，我就能擦线 Ag。关于 A 以及 E，我均因为对代码能力不够的畏惧不敢写数据结构题，因此失去了大量的分，所以码力真的起到了非常非常重要的作用。其他的东西可能都是平时的积累，码力虽然也是平时的积累，可是它是 OI 中的重中之重，没有它就寸步难行。

好好练习码力，明年初三了，力争 Ag！