【AGC 055 C】Weird LIS 题解

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Solution

这是一道神仙题。

考虑对于某个固定的 $A$ 判断其是否合法，并得到合法的充分必要条件。

首先，$A$ 的极差不得超过 $1$。这是为什么呢？考虑 $P$ 的某个最长上升子序列 { P p 1 , P p 2 , ⋯   , P p k } \{P_{p_1},P_{p_2},\cdots,P_{p_k}\} { Pp1​​,Pp2​​,⋯,Ppk​​}。对于每个位置 $i$，若 $i\ne P_{p_1},i\ne P_{p_2},\cdots ,i\ne P_{p_k}$，则有 $A_i=k$；否则，若 $i=P_{p_x}(1\le x\le k)$，那么删去 $i$ 后依然存在上升子序列 { P p 1 , P p 2 , ⋯   , P p x − 1 , P p x + 1 , ⋯   , P p k } \{P_{p_1},P_{p_2},\cdots,P_{p_{x-1}},P_{p_{x+1}},\cdots,P_{p_k}\} { Pp1​​,Pp2​​,⋯,Ppx−1​​,Ppx+1​​,⋯,Ppk​​}，则有 $A_i\ge k-1$。因此极差必定不超过 $1$——换言之，序列由若干个 $k$ 和 $k-1$ 构成。根据上述分析，不难更进一步得到结论——若 $A_i=k-1$，那么 $i$ 是所有 LIS 的公共位置，若删去 $i$ 则会对 LIS 的长度有影响；若 $A_i=k$，那么 $i$ 不属于至少一个 LIS，删去 $i$ 不会对 LIS 的长度有影响。

但是，$A$ 的极差不超过 $1$ 显然不是充要条件，比如 { 4 , 3 , 3 , 4 , 3 } \{4,3,3,4,3\} { 4,3,3,4,3} 就是个反例。

为进一步得到充要条件，我们以 $A_x=k$ 的众多 $x$ 为分界点将序列划分为若干个连续区间 $[1,i_1)(i_1,i_2)\cdots (i_x,n]$，这些区间之间两两独立。

考虑其中一个连续区间 $[L,R]$ 对 LIS 会有怎样的贡献。思考两个最极端的情况——$[L,R]$ 对 LIS 产生了最小可能以及产生了最大可能的贡献。。

先思考前者。不难发现，无论 $[L,R]$ 的位置如何，我们总可以让它对 LIS 的贡献为 $0$。例如，$[L,R]$ 是划分出的最后一段区间，我们完全可以在 $P$ 中倒序填入最小的几个数 $R-L+1,R-L,\cdots ,1$，没有任何贡献；再比如，$[L,R]$ 是划分出的一段区间，我们完全可以在 $P$ 中倒序填入最大的几个数 $n,n-1,\cdots ,n-R+L$，没有任何贡献。

再思考后者。可以发现，$[L,R]$ 的最大贡献为 $\lfloor \frac{R-L+1}{2}\rfloor$，这可以通过在 $P$ 中依次填入两两配对的满足 $x>y$ 的数对 $(x,y)$ 得到。例如，在序列 { 1 , _ , _ , _ , _ , _ , _ , 8 } \{1,\_,\_,\_,\_,\_,\_,8\} { 1,_,_,_,_,_,_,8} 中，我们可以填入 $(3,2)(5,4)(7,6)$ 变成 { 1 , 3 , 2 , 5 , 4 , 7 , 6 , 8 } \{1,3,2,5,4,7,6,8\} { 1,3,2,5,4,7,6,8}。不难发现，$[L,R]$ 中没有 $\lceil$ 所有 LIS 都必须要用 $\rfloor$ 的位置，并且也使区间对 LIS 的贡献取到了最大值，岂不美哉？

通过上述两个思考，我们可以得到结论: $[L,R]$ 对 LIS 的贡献在 $[0,\lfloor \frac{R-L+1}{2}]$ 中，且该值域区间中的所有值都能被取到。至于怎么证明，感性理解应该是再容易不过了；严谨证明的话本蒟蒻也不会，就抛一边了。

令 $u$ 为满足 $A_i=k$ 的 $u$ 的个数；$v=\sum \lfloor \frac{R-L+1}{2}\rfloor$，即所有划分出的区间的最大可能贡献之和。综上所述，我们可以写出 $A$ 合法的充分必要条件：

• $k-{\min }_{i=1}^n{A}_i\le 1$（极差不超过 $1$ 的数学表达式）
• $u\le k\le u+v$（最小可能的总贡献是 $u+0$，最大可能的总贡献是 $u+v$，而 LIS 是 $k$，所以就有这个式子了）

该如何计算答案呢？考虑枚举 $u,v$，并累加 $(u,v)$ 对答案的贡献。

$$\sum _{u=1}^m\sum _{v=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u+1}{n-u-2v}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u+v}{u}\right)\max (\min (u+v,m)-\max (3,u)+1,0)$$

其中，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u+1}{n-v-2u}\right)$ 表示，将 $n-v-2u$ 个遗留下的位置插入到 $u+1$ 个划分出的区间中，注意到任意数模 $2$ 都是 $0$ 或 $1$，因此每段区间只能插入 $0$ 或 $1$ 个，于是就是一个组合数的形式；另一方面，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u+v}{u}\right)$ 表示，把 $u$ 个 LIS 的必须点和 $v$ 个数对穿插在一起的方案数。最后一部分就表示 $[\max (3,u),\min (u+v,m)]$ 中的整数的数量，其中 $\min (u+v,m)$ 表示 $k\le u+v,k\le m$ 的限制，$\max (3,m)$ 表示 $k\ge 3,k\ge u$ 的限制。

不过，在你开心地模拟完这个式子之后，你发现它过不了样例！！1

这是为什么呢？因为啊，我们完全没有考虑极差恰好为 $0$ 的情况（也就是所有数都相等的情况），把这一类东西完全忽略了！于是，我们还需要在答案中加上这一部分。

那么，什么样的 $k$ 可以使 A = { k , k , ⋯   , k } A=\{k,k,\cdots,k\} A={ k,k,⋯,k} 合法呢？懒得分析了，直接打表，可以发现合法的 $k$ 是 $1,2,3,\cdots ,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 和 $n-1$。将答案加上这些数中不超过 $k$ 且大于 $1$ 的数的个数就行了。

综上所述，我们 $O(n^2)$ 地解决了本题。