Codeforces 1582F2 暴力

题意

传送门 Codeforces 1582F2 Korney Korneevich and XOR (hard version)

题解

比较直接的想法是动态规划。$dp[i][j]$ 代表 $[0,i)$ 中子序列异或和为 $i$ 时，序列末尾元素的最小值。顺序遍历元素，对每个元素枚举异或和可能的值，判断加入当前元素后是否满足子序列的单调递增性即可。总时间复杂度 O ( N × max ⁡ { a i } ) O(N\times\max\{a_i\}) O(N×max{ ai​})。显然难以胜任，需要进一步优化。

元素值域较小，子序列异或和值域较小，对于值为 $x$ 的元素，以其为末尾元素的子序列（不包括 $x$）的异或和为 $y$，这样的 $(x,y)$，只有 ( max ⁡ { a i } ) 2 (\max\{a_i\})^2 (max{ ai​})2 种可能。令 $z=x\oplus y$，那么值属于 [ x + 1 , max ⁡ { a i } ] [x+1,\max\{a_i\}] [x+1,max{ ai​}] 的所有元素，都可以置于以 $x$ 为末尾元素的子序列之后，那么将 $z$ 传递至 [ x + 1 , max ⁡ { a i } ] [x+1,\max\{a_i\}] [x+1,max{ ai​}]。暴力处理这样的传递过程，总时间复杂度 O ( ( max ⁡ { a i } ) 3 ) O((\max\{a_i\})^3) O((max{ ai​})3)。

维护 $rec[x]$，其代表末尾元素小于 $x$ 的子序列所能构成的异或和 $y$ 的集合；对于不同的 $y$，应只与 $x$ 异或一次。由于 $x\oplus y$ 向 r e c [ x + 1 ] ⋯ r e c [ max ⁡ { a i } ] rec[x+1]\cdots rec[\max\{a_i\}] rec[x+1]⋯rec[max{ ai​}] 传递时，满足右侧的单调性；即，若某个元素已传递了值，那么值大于其的元素一定也被传递了相同的值。那么可以维护一个指针 $ptr[z]$，代表值 $z$ 已传递的最小元素，此时可以避免同一个值被传递多次。总时间复杂度 O ( N + ( max ⁡ { a i } ) 2 ) O(N+(\max\{a_i\})^2) O(N+(max{ ai​})2)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for (int i = l, _ = r; i < _; ++i)
const int MAX_N = 1000005, MAX_A = 5005, MAX_X = 1 << 13;
int N, A[MAX_N], ptr[MAX_X];
vector<int> rec[MAX_A];
bool used[MAX_X];

int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> N;
    rep(i, 0, N) cin >> A[i];
    rep(i, 0, MAX_A) rec[i].push_back(0);
    rep(i, 0, MAX_X) ptr[i] = MAX_A;
    memset(used, 0, sizeof(used));
    used[0] = 1;
    rep(i, 0, N)
    {
    
    
        for (auto &x : rec[A[i]])
        {
    
    
            int y = x ^ A[i];
            used[y] = 1;
            while (A[i] + 1 < ptr[y])
            {
    
    
                --ptr[y];
                rec[ptr[y]].push_back(y);
            }
        }
        rec[A[i]].clear();
    }
    vector<int> res;
    rep(i, 0, MAX_X) if (used[i]) res.push_back(i);
    cout << (int)res.size() << '\n';
    for (auto &x : res)
        cout << x << ' ';
    cout << '\n';
    return 0;
}