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1. DTFT 的定义式
DTFT（离散时间信号傅里叶变换）：一个在时域内不连续的信号 被使用
来表示，即一个函数可以表示为级数表达式
当得知频域内的信号表达式时，使用下面的方法来表示时域信号，即为傅里叶反变换：
可以认为，反变换定义式使得任何序列可以被分解为指数序列 的加权相加
2. DTFT 的性质
（1）周期性
可以看出，经过 DTFT ，信号为周期函数，其周期为 2pi ，傅里叶级数的系数为 x[n], 即累积的级数的权值；一般来说由于其周期性，我们研究的过程中关注的多是其一个周期内部的变化
（2）复数特性
一般来说，经过 DTFT 得到的 X(e^(jw))是复数形式，可以使用下面的式子表示：
也可以使用极坐标来表示：
可以看出极坐标形式的变换包括幅度值和相位，都和原来的式子有关
上图中表示，相位函数并不是唯一的，经过 2pi 的周期后相位函数还是和原来的函数一样，所以一般将相位角约束在 [-pi,pi]之间
（3）共轭对称性
一般经过离散时间傅里叶变换后变为如上所示的复数函数
可以看出原序列的偶部对应变换后的函数的实部，原函数的奇部对应变换后的函数的虚部 ，那么是什么原因造成这种情况呢
是因为满足共轭对称性：
即实部（幅度）为一个偶函数，虚部（相位）为一个奇函数
（4）收敛性
定义式在数学表达式上是一个无穷级数和，所以在收敛方面存在问题
当级数求和的范围取为有限的时，该级数肯定收敛，收敛方式主要有以下两种：
a: 一致收敛
即当 K 趋于无穷大时，两函数的误差趋近于 0
b:均方收敛
即误差的模的平方随着K的增大在一周内趋于0
当原序列 x[n] 绝对可求和时一定可以使变换收敛，即：
所以也可以说，序列绝对可求和是 DTFT 存在的充分条件，由上图可知，绝对可求和的序列一定属于平方可求和，即绝对可求和强于平方可求和
（5）线性性质
时域的线性组合在频域也满足相应的组合
可以使用定义式进行证明
（6）反折性质
时域取反，那么频域也可以取反
（7）时移性质
将原信号在时域进行移动，那么在频域内相位发生变化
（8）频移性质
在频域内对该信号进行搬移，那么在时域内就是对其乘以一个指数量，可以从定义式进行推导
（9）频域微分性质
时域内对信号乘以时域变量 n ,那么频域内对频谱求导再乘以 j
（10）卷积性质
时域内两信号相卷，在频域内可以理解为两个信号相乘，可以将卷积运算转化为傅里叶变化后的乘积运算
（11）调制性质
时域相乘，频域相卷
由于频域内是周期函数，所以卷积运算过程中的积分范围为一个周期
（12）帕塞瓦尔关系式
3. 性质的应用
（1）卷积性质的应用
时域内相卷的运算，需要大量的运算量，将其转化为频域内的相乘，可以简化运算
（2）频移性质的应用
计算 y[n] 的 DTFT ，首先将其转化为常见的序列，再通过频移性质以及常见序列的变化获得结果
（3）线性性质和频域微分性质的应用
计算 y[n] 的 DTFT ，首先通过线性性质将其转化为较为简单的和的性质，通过频域微分性质和常见序列的应用得到转化后的频域表达式
（4）帕塞瓦尔关系式的应用
计算 h[n] 的 能量，使用帕塞瓦尔表达式将其能量通过频域一个周期内的积分计算出来
由于信号频域幅度的平方代表序列的能量在频域内的分布规律，所以幅度谱平方定义为能量谱密度函数