【源码共读】Python 内置二分算法（折半算法）模块 bisect 详解

1. 简介

二分算法是编程中非常常见和常用的算法，即便如此我之前也没有想到 Python 官方竟然有一个专门的模块实现了该算法的大部分操作，该模块为 bisect 。

实际上，该模块提供的函数主要用于这样的场景，即在每次使用其中的函数向列表中插入一个元素后，无需对列表进行排序的同时可以保证该列表一直都是有序的。这对于列表元素很多，且元素之间的比较非常耗时的场景能很好的提高代码的效率。

2. 源码

"""Bisection algorithms."""

def insort_right(a, x, lo=0, hi=None):
    """Insert item x in list a, and keep it sorted assuming a is sorted.

    If x is already in a, insert it to the right of the rightmost x.

    Optional args lo (default 0) and hi (default len(a)) bound the
    slice of a to be searched.
    """

    lo = bisect_right(a, x, lo, hi)
    a.insert(lo, x)

def bisect_right(a, x, lo=0, hi=None):
    """Return the index where to insert item x in list a, assuming a is sorted.

    The return value i is such that all e in a[:i] have e <= x, and all e in
    a[i:] have e > x.  So if x already appears in the list, a.insert(x) will
    insert just after the rightmost x already there.

    Optional args lo (default 0) and hi (default len(a)) bound the
    slice of a to be searched.
    """

    if lo < 0:
        raise ValueError('lo must be non-negative')
    if hi is None:
        hi = len(a)
    while lo < hi:
        mid = (lo+hi)//2
        if x < a[mid]: hi = mid
        else: lo = mid+1
    return lo

def insort_left(a, x, lo=0, hi=None):
    """Insert item x in list a, and keep it sorted assuming a is sorted.

    If x is already in a, insert it to the left of the leftmost x.

    Optional args lo (default 0) and hi (default len(a)) bound the
    slice of a to be searched.
    """

    lo = bisect_left(a, x, lo, hi)
    a.insert(lo, x)


def bisect_left(a, x, lo=0, hi=None):
    """Return the index where to insert item x in list a, assuming a is sorted.

    The return value i is such that all e in a[:i] have e < x, and all e in
    a[i:] have e >= x.  So if x already appears in the list, a.insert(x) will
    insert just before the leftmost x already there.

    Optional args lo (default 0) and hi (default len(a)) bound the
    slice of a to be searched.
    """

    if lo < 0:
        raise ValueError('lo must be non-negative')
    if hi is None:
        hi = len(a)
    while lo < hi:
        mid = (lo+hi)//2
        if a[mid] < x: lo = mid+1
        else: hi = mid
    return lo

# Overwrite above definitions with a fast C implementation
try:
    from _bisect import *
except ImportError:
    pass

# Create aliases
bisect = bisect_right
insort = insort_right

3. 分析

实际上，该模块非常简单，只是针对二分算法，通过 $4$ 个函数实现了 二分算法的 $4$ 个常用操作：

3.1 bisect_left(a, x, lo=0, hi=None)

该函数在假定 a 为有序序列的前提下，返回一个索引 i ，该索引确定了应该在何处插入元素 x 后可以确保 a 仍是有序序列。

该函数的返回值 i 满足如下性质：

• 对于 a[:i] 中任意元素 e ，都有 e < x ；
• 对于 a[i:] 中任意元素 e ，都有 e >= x 。

因此，如果 x 已经存在于 a 中，那么 a.insert(i, x) 会在 a 中已有的 x 中，在最左边 x 的前一个位置处插入 x 。

其中可选的参数 lo （默认为 $0$）以及 hi （默认为 len(a)）用于确定二分查找的边界。

3.2 bisect_right(a, x, lo=0, hi=None)

该函数在假定 a 为有序序列的前提下，返回一个索引 i ，该索引确定了应该在何处插入元素 x 后可以确保 a 仍是有序序列。

该函数的返回值 i 满足如下性质：

• 对于 a[:i] 中任意元素 e ，都有 e <= x ；
• 对于 a[i:] 中任意元素 e ，都有 e > x 。

因此，如果 x 已经存在于 a 中，那么 a.insert(i, x) 会在 a 中已有的 x 中，在最右边 x 的后一个位置处插入 x 。

其中可选的参数 lo （默认为 $0$）以及 hi （默认为 len(a)）用于确定二分查找的边界。

3.3 insort_left(a, x, lo=0, hi=None)

该函数将元素 x 插入 a 中，确保 插入前 a 是有序的前提下，插入后 a 也是有序的。

如果 x 已经存在于 a 中，那么元素 x 将会被插在最左侧那个 x 的前一个位置。

其中可选的参数 lo （默认为 $0$）以及 hi （默认为 len(a)）用于确定二分查找的边界。

3.4 insort_right(a, x, lo=0, hi=None)

该函数将元素 x 插入 a 中，确保 插入前 a 是有序的前提下，插入后 a 也是有序的。

如果 x 已经存在于 a 中，那么元素 x 将会被插在最右侧那个 x 的后一个位置。

其中可选的参数 lo （默认为 $0$）以及 hi （默认为 len(a)）用于确定二分查找的边界。

4. 实现

下面是自定义实现：

def binary_search_left(self, nums: List[int], target: int) -> int:
    low, high = 0, len(nums) - 1
    while low <= high:
        mid = low + (high - low) // 2
        if nums[mid] == target:
            high = mid - 1  # 缩小搜索的上界
        elif nums[mid] < target:
            low = mid + 1
        else:
            high = mid - 1
    return low