Codeforces Round #716 (Div. 2) C

原题链接：
http://codeforces.com/contest/716/problem/C
题意：给你一个x，初始值等于2。给你一个k，初始值为1，求x加上j个k，能使得x+j * k满足下面两个条件：
1.x+j * k是完全平方数
2.x+j * k的平方根被k+1整除
当满足条件1，2时，k+1，求j;
思路：依照题目表意，用暴力的写法很容易得到：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,k;
int main()
{
    
    
	k=1;
	n=2;
	for(int i=1;i<=10000;i++)
	{
    
    
		for(int j=1;j<=1000;j++)
		{
    
    
			if(n+k*j==i&&(sqrt(i)-(int)sqrt(i)==0)&&((int)sqrt(i)%(k+1))==0)
			{
    
    
				k++;
				cout<<i<<' '<<n<<'+'<<k<<'*'<<j<<" x="<<j<<' '<<j-jj<<endl ;
				n=sqrt(i);
			}
		}
	}
}

显然这是一个on^2的做法，一定会超时，但暴力程序得到的确实是正确的结果
所以我们可以取前几次的运行结果找规律。
4 = 2+1 * 2 ；x = 2
36 = 2+2 * 17 ；x = 17
144 = 6+3 * 46 ；x = 46
400 = 12+4 * 97 ；x = 97
900 = 20+5 * 176 ；x = 176
1764 = 30+6 * 289 ；x = 289
3136 = 42+7 * 442 ；x = 442
5184 = 56+8 * 641 ；x = 641
8100 = 72+9 * 892 ；x = 892

容易发现 从第二项开始 整个式子符合这样的规律
n*(n+1)n(n+1) = n(n-1) + nx
整理一下，得到x = n³+ 2n²+1;
ac 代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
long long ans=0;
int main() 
{
    
    
	long long n,m;
	cin>>n;
	cout<<2<<endl;
	for(long long i=2;i<=n;i++)
	{
    
    
		cout<<i*i*i+2*i*i+1<<endl;
	}
	return 0;
}

显然找规律的解法不太好，因为能不能很快看出来规律很看脸。
所以赛后经过一番学习，找到了比较正统的做法(构造)。
将题目解读一下
如果要给屏幕上的x开方，我们需要满足下面几个条件
1.x+j * k是完全平方数
2.x+j * k的平方根被k+1整除
3.x+j * k显然是递增的
为了满足性质1，2 我们构造出(k+1)^2（显然这是完全平方数，而且开方后被k+1整除），为了满足性质1，3我们在(k+1) ²的基础上乘一个k ²。
所以每次可以被开方的数就是(k+1)² * k²
这样我们就可以写出等式：
(k+1)² * k²=x+jk;
因为每次开方后，x就等于开完方的数，所以x²应该等于上一次被开方的数，上一次能被开方的数也满足(k+1)² * k²，只是这个k应该等于当前k-1；因为是上一级嘛；
所以我们设当前等级为k₂,上一等级为k，k₂=k₁+1;
可以得到这样一个等式:
(k₂+1)² * k₂²=√（k₁+1）² * k₁² + j * k₂;
化简后，将k₂=k₁+1;代入，解得 j=k³+ 2k²+1
化简过程中，我们发现在(k+1)²的基础上乘k²是正确的，因为如果补k+1，k+整数这样，那么化简之后会出现分数，不大方便。