2020北航自动化研究生夏令营笔试相轨迹题分析与解答

相轨迹是什么

相轨迹就是一个系统中信号（一般两个）随时间的变化轨迹图（一般二维），相轨迹一般用于分析二阶及以下系统的动态过程。对于二阶系统，总可以写成如下形式：
$$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$$
选取信号：
$$\begin{gathered} x_1=\dot{x} \\ {x}_2=x \end{gathered}$$
则相轨迹为$x_1$与$x_2$的二维曲线，其中$x_1$为纵坐标，$x_2$为横坐标。

相轨迹的绘制

一般手绘采用等斜线法，对于系统：
$$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$$
我们先求相轨迹的斜率表达式：
$$\ddot{x}=\frac{d\dot{x}}{dt}=\frac{d\dot{x}}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{d\dot{x}}{dx}\dot{x}$$
$$\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{\ddot{x}}{\dot{x}}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$$
不妨设：
$$\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}=c$$
解得：
$$\dot{x}=g(c,x)$$
我们根据不同的c值绘制不同的曲线于坐标系，然后确定系统初始状态对应的点，根据其经过的曲线对应的c值确定邻域内变化的斜率从而一步步完成相轨迹的绘制，而相轨迹的方向可以通过分析图像某一点纵坐标的正负以及曲线形状分析。

笔试真题

此题出现在笔试最后一道题，题目如下：

首先说明函数：
$$sgn(a)=1(a>0)or-1(a<0)$$
设误差：
$$e=r-c$$
根据系统方框图可推得：
$$5[5e-sgn(\dot{c})]=\ddot{c}$$
当t>0时，r=1，并将e替换掉：
$$25(1-c)-5sgn(\dot{c})=\ddot{c}$$

1. 当$\dot{c}>0$时：
   $$\frac{d\dot{c}}{dc}=\frac{-25c+20}{\dot{c}}=m$$
   $$\dot{c}=\frac{-25c+20}{m}$$
2. 当$\dot{c}<0$时：
   $$\frac{d\dot{c}}{dc}=\frac{-25c+30}{\dot{c}}=m$$
   $$\dot{c}=\frac{-25c+30}{m}$$

根据等斜线法原理以及初始点$(4,0)$即可绘制相轨迹：

可以看到，非线性系统实际上是收敛的。

Simulink验证

搭建系统模型，其中sgn使用relay模块搭建，开闭值均设置为eps：

仿真时长t=4s，使用XY示波器观察相轨迹如下图所示：

与我们手工绘制的一致。

总结

北航笔试还有些题比较有意思，当时博主考的时候没怎么复习，一些简单的知识点都出现了问题。相轨迹这里我们学校不讲，因此是自学的，有什么不对尽管提出。