[NOI Online 2021 提高组] 积木小赛——后缀自动机+子序列自动机

同步于：https://www.luogu.com.cn/blog/OUYE2020/solution-p7469

题解

考虑字符串T中的本质不同的子串最多 $n^2$ 个，暴力枚举判断至少是 $O(n^3)$ 的，用 $hash$ 可以优化到 $O(n^2)$ 。然而为了保证正确性，我们不用 $hash$ （其实我做字符串题就只用过一次这玩意 。

那么为了去重，最好的方法是对 $T$ 串建立一个后缀自动机，按边遍历整个后缀自动机就可以像走 $trie$ 树一样得到每个子串的信息。由于后缀自动机上最多 $2n$ 个点，每个点会遍历不超过 $n$ 次（其实比 $n$ 小得多），所以遍历一遍均摊复杂度 $O(n^2)$ ，在 $n>26$ 的情况下严格小于 $O(n^2)$ 。

怎么拿 $T$ 中的子串和 $S$ 中的子序列匹配呢？我们贪心地记录 $f_{i,c}$ 为第 $i$ 个字符往后第一次出现字符 $c$ 的位置，把 $i$ 和 $f_{i,c}$ 之间连边，
最终可得到一颗最多 $n\ast 26$ 条边的 $trie$ 树。根据贪心思路，这棵树必定记录了 $S$ 的所有子序列的信息，这颗 $trie$ 树就叫 $S$ 的子序列自动机。

然后我们只需要同步遍历两个自动机，求出所有重合的节点数就是答案。这个复杂度为两个自动机遍历次数取较小值，所以总复杂度小于 $O(n^2)$ 。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#define ll long long
#define MAXN 3005
#define uns unsigned
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
inline ll read(){
    
    
	ll x=0;bool f=1;char s=getchar();
	while((s<'0'||s>'9')&&s>0){
    
    if(s=='-')f^=1;s=getchar();}
	while(s>='0'&&s<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0',s=getchar();
	return f?x:-x;
}
struct SAM{
    
    
	int ch[26],len,fa;
	SAM(){
    
    memset(ch,0,sizeof(ch)),len=fa=0;}
}sam[MAXN<<1];
int las=1,tot=1;
inline void samadd(int c){
    
    
	int p=las,np=las=++tot;sam[np].len=sam[p].len+1;
	for(;p&&sam[p].ch[c]==0;p=sam[p].fa)sam[p].ch[c]=np;
	if(!p)sam[np].fa=1;
	else{
    
    int q=sam[p].ch[c];
		if(sam[q].len==sam[p].len+1)sam[np].fa=q;
		else{
    
    
			int nq=++tot;sam[nq]=sam[q],sam[nq].len=sam[p].len+1,sam[q].fa=sam[np].fa=nq;
			for(;p&&sam[p].ch[c]==q;p=sam[p].fa)sam[p].ch[c]=nq;
		}
	}
}
int n,ans;
char a[MAXN],b[MAXN];
int tr[MAXN][26];
inline void dfs(int x,int y){
    
    
	if(!x||!y)return;
	if(x>1)ans++;
	for(int i=0;i<26;i++)
		dfs(sam[x].ch[i],tr[y][i]);
}
signed main()
{
    
    
//	freopen("block.in","r",stdin);
//	freopen("block.out","w",stdout);
	n=read();
	scanf("%s\n%s",a+2,b+1);
	for(int i=n;i>0;i--){
    
    
		for(int j=0;j<26;j++)tr[i][j]=tr[i+1][j];
		tr[i][a[i+1]-'a']=i+1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)samadd(b[i]-'a');
	dfs(1,1);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}