模格

定义

$模格的定义$
$$设（L，\le ）是一个格，对于任意的a,b,c\in L,如果a\le b都有a\vee (b\wedge c)=b\wedge (a\vee c)$$
$由分配等式，分配格一定是模格，反之不然$

举例

$钻石格是模格，五角格不是模格$

$$钻石格：M_5,五角格：N_5$$

例 : 群 G 中 的 所 有 正 规 子 群 做 成 一 个 模 格 。 设 群 G 的 所 有 正 规 子 群 做 成 的 集 合 为 S ， 对 集 合 S 引 进 如 下 两 种 运 算 : 1. 对 任 意 A ∈ S , B ∩ S , A 与 B 的 交 集 记 为 A ∩ B . 因 为 正 规 子 群 的 交 仍 为 正 规 子 群 ， 故 运 算 ∩ 对 S 封 闭 的 。 2. 对 任 意 A ∈ S , B ∈ S , A 与 B 的 乘 积 ( 记 为 A ∗ B ) 为 如 下 集 合 : A ∗ B = { x ∗ y ( 群 中 的 乘 运 算 ) ∣ ( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B ) } 例:群G中的所有正规子群做成一个模格。\\ 设群G的所有正规子群做成的集合为S，对集合S引进如下两种运算:\\ 1.对任意A∈S, B\cap S, A与B的交集记为A∩B.因为正 规子群的交仍为正规子群，故运算∩对S封闭的。\\ 2.对任意A∈S,B∈S,A与B的乘积( 记为A*B)为如 下集合:\\ A*B = \{x*y(群中的乘运算) |(x∈A)\wedge(y∈B) \}\\ 例:群G中的所有正规子群做成一个模格。设群G的所有正规子群做成的集合为S，对集合S引进如下两种运算:1.对任意A∈S,B∩S,A与B的交集记为A∩B.因为正规子群的交仍为正规子群，故运算∩对S封闭的。2.对任意A∈S,B∈S,A与B的乘积(记为A∗B)为如下集合:A∗B={ x∗y(群中的乘运算)∣(x∈A)∧(y∈B)}
$$\begin{gathered} 不难证明A\ast B是G的子群,下面证明其为正规子群，即运算封闭在正规子群的集合S中 \\ 对任意g\in G,往证g\ast (A\ast B)=(A\ast B)\ast g \\ 任取u=g\ast a\ast b，因为A,B是正规子群，g\ast a\ast b=a_1\ast g\ast b=a_1\ast b_1\ast g（a_1\in A,b_1\in B） \\ u\in (A\ast B)\ast g至此证明了一半包含关系，另一半同理 \end{gathered}$$
$$仍需要证明其为格：交运算或乘运算满足结合律，分配律,交运算和乘运算满足吸收率$$
$$然后再证明(S,\cap ,\ast )为模格$$

等价定义：

$$\begin{gathered} 格(L,<)是模格的充分必要条件是: \\ 对任意a，b，c\in L,如果a\le b,a\wedge c=b\wedge c,a\vee c=b\vee c,则必有a=b。 \\ 证明:必要性。若格(L，\le )是模格，则对任意a,b,c\in L， \\ 如果a\le b,a\wedge c=b\wedge c,a\vee c=b\vee c，则 \\ a=a\vee (a\wedge c)=a\vee (b\wedge c)b\wedge (a\vee c)=b\wedge (b\vee c)=b \\ 充分性。任取a,b,c\in L，且a\le b。 \\ (a\vee (b\wedge c))\vee c \\ =a\vee ((b\wedge c)\vee c)=a\vee c \\ 又因为a\le b,所以a\le b\vee (a\wedge c), \\ a\vee c\le (b\vee (a\wedge c))\vee c\le (a\vee c)\vee c=(a\vee c) \\ 所以(b\vee (a\wedge c))\vee c=(a\vee c) \\ 即综上有：若a\le b,(a\vee (b\wedge c))\vee c=(b\vee (a\wedge c))\vee c \\ 可推导得若a\le b,(b\wedge (a\wedge c))\wedge c=(a\vee (b\wedge c))\vee c \\ 由分配不等式知若a\le b,a\vee (b\wedge c)\le b\wedge (a\vee c) \\ 综上三个式子与此定理得条件：a\vee (b\wedge c)=b\wedge (a\vee c)即(L，\le )是模格 \end{gathered}$$

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格的性质：
https://wenku.baidu.com/view/ff85f311227916888486d760.html
https://max.book118.com/html/2018/1011/7041105062001152.shtm
https://blog.csdn.net/longji/article/details/79136855