数据结构之线性结构（线性表）

本文为数据结构之线性结构，根据陈越姥姥的网课而整合的笔记。

举个栗子来引出线性表：

多项式的表示

一元多项式：f(x)=a0+a1x+…+a(n-1)x^(n-1)+a(n)xn

涉及的主要运算：多项式相加、相减、相乘等

分析：如何表示多项式？

关键数据：
1.多项式项数n（最高次方）

2.各项系数ai及指数i

方法1：顺序存储结构直接表示

数组各分量对应多项式各项：

a[i]:项x^i的系数ai（下标为i时，对应的是次数为i的系数）

方法2：顺序存储结构表示非零项

每个非零项aix^i涉及两个信息：系数ai和指数i，一个多项式可看成是一个（ai，i）二元组的集合.
用结构数组表示： 数组分量是由系数ai、指数i组成的结构，对应一个非零项

ps：按照指数大小递减有序存储

两个多项式的相加

方法3：链表结构存储非零项

链表中每个结点存储多项式中的一个非零项，包括系数和指数两个数据域以及一个指针域

启示：

1.同一个问题可以有不同的表示（存储）方法

2.有一类共性问题：有序线性序列的组织和管理

一、什么是线性表

线性表：由同类型数据元素构成有序序列的线性结构

• 表中元素个数称为线性表的长度
• 线性表没有元素时，称为空表
• 表起始位置称表头，表结束位置称表尾

二、线性表的抽象数据类型描述

类型名称:线性表（List）

数据对象集：线性表是n（>=0）个元素构成的有序序列（a1,a2,…an)

操作集：线性表L<-List,整数i表示位置，元素X<-ElementType

基本操作：

1. List MakeEmpty：建表，初始化一个空线性表L；
2. ElemenType FindKth(int K，List L):根据位序K，返回相应元素；
3. int Find(ElementType X,List L):在线性表L中查找X的第一次出现位置；
4. void Insert(ElementType X,int i,List L):在位序i前插入一个新元素X；
5. void Delete(int i,List L):删除指定位序i的元素；
6. int Length(List L):返回线性表L的长度n。

三、线性表的顺序存储实现

利用数组的连续存储空间顺序存放线性表的各元素

四、顺序存储主要操作的实现

1.初始化（建立空的顺序表）

List MakeEmpty( )
{
    
    
  List PtrL;
  PtrL=(List)malloc(sizeof(struct LNode));
  PtrL->Last=-1;
  return PtrL;
}

2.查找

int Find(ElementType,List PtrL)
{
    
    
  int i=0;
  while(i<=PtrL->Last && PtrL->Data[i]!=X)
  	i++
  if(i>PtrL->Last) return -1;   /*如果没找到，返回-1*/
  else return i;   /*找到后返回的是存储位置*/
}

查找成功的平均次数是（n+1)/2.

3.插入（第i（1<=i<=n+1)个位置上插入一个值为X的新元素）

void insert(ElementType X,int i,List PtrL)
{
    
    
  int j;
  if(PtrL->Last==MAXSIZE-1){
    
       /*表空间已满，不能插入*/
    	Printf("装满")；
    	return；
  }
  if(i<1||i>PtrL->Last+2){
    
    
    printf("位置不合法")；
    return；
  }
  for(j=PtrL->Last;j>=i-1;j--)
  	PtrL->Data[j+1]=PtrL->Data[j];  /*将ai~an倒序向后移动*/
  PtrL->Data[i-1]=X;                /*新元素插入*/
  PtrL->Last++;                     /*Last仍指向最后元素*/
  return;
}

平均移动次数为n/2

4.删除（删除表的第i（1<=i<=n)个位置上的元素）

void Delete(int i,List PtrL)
{
    
    
  int j;
  if(i<1||i>PtrL->Last+1){
    
    
    printf("不存在第%d个元素"，i)；
    return；
  }
  for(j=i;j<=PtrL->Last;j++)
  	PtrL->Data[j-1]=PtrL->Data[j];  /*将ai+1~an顺序向前移动*/
  PtrL->Last--;                     /*Last仍指向最后元素*/
  return;
}

五、线性表的链式存储实现

不要求逻辑上相邻的两个元素物理上也相邻；通过“链”建立起数据元素之间的逻辑关系。

插入、删除不需要移动数据元素，只需要修改“链”

六、链式存储主要操作的实现

1.求表长

int length（List PtrL)
{
    
    
  List p=PtrL;   /*p指向表的第一个结点*/
  int j=0;
  while(p){
    
    
    p=p->Next;
    j++;   /*当前p指向的是第i个结点*/
  }
  return j;
}

2.查找

（1）按序号查找：FindKth；

List FindKth(int K,List PtrL)
{
    
    
  List p=PtrL;
  int i=1;
  while(p!=NULL&&i<K){
    
    
    P=P->Next;
    i++;
  }
  if(i==K)return p;   /*找到第K个，返回指针*/
  else return NULL;   /*否则返回空*/
}

（2）按值查找：Find

List Find(ElementType X,List PtreL)
{
    
    
  List p=PtrL;
  while(p!=NULL&&p->Data!=X)
  	p=p->Next;
  return p;
}

3.插入（再地i-1（1<=i<=n+1)个结点后插入一个值为X的新结点）

（1）先构造一个新节点，用s指向；

（2）再找到链表的第i-1个结点，用p指向；

（3）然后修改指针，插入结点（p之后插入新结点是s）

List Insert(ElementType X,int i,List PtrL)
{
    
    
  List p,s;
  if(i==1){
    
                                     /*新结点插入在表头*/
    s=(List)malloc(sizeof(struct LNode));   /*申请、填装结点*/
    s->Data=X;
    S->Next=p->Next;
    return s;
    }
    p=FindKth(i-1,PtrL);                    /*查找第i-1个结点*/
    if(p==NULL){
    
                                /*第i-1个不存在，不能插入*/
      Printf("参数i错")；
      return NULL;
    }
    else{
    
    
      s=(List)malloc(sizeof(struct LNode)); /*申请、填装结点*/
      s->Data=X;
      S->Next=p->Next;                      /*新结点插入在第i-1个结点的后面*/
      p->Next=s;
   	  return PtrL;
    }
 }

4.删除（删除链表的第i（1<=i<=n)个位置上的结点）

（1）先找到链表的第i-1个结点，用p指向

（2）再用指针s指向要被删除的结点（p的下一个结点）

（3）然后修改指针，删除s所指结点；

（4）最后释放s所指结点的空间。

List Delete(int i,List Ptrl)
{
    
    
  List p,s;
  if(i==1){
    
                               /*若要删除的是表的第一个结点*/
    s=PtrL;                           /*s指向第1个结点*/
    if(PtrL!=NULL) PtrL=PtrL->Next;   /*从链表中删除*/
    else return NULL;
    free(s);
    return PtrL;
  }
  p=FindKth(i-1,PtrL);                /*查找第i-1个结点*/
  if(p==NULL){
    
    
    printf("第%d个结点不存在"，i-1)；
    return NULL；
  }
  else if(p->Next==NULL){
    
    
    printf("第%d个结点不存在"，i);
    return NULL;
  }
  else{
    
    
    s=p->Next;                        /*s指向第i个结点*/
    p->Next=s->Next;                  /*从链表中删除*/
    free(s)；                         /*释放被删除结点*/
    return PtrL;
  }
}

七、广义表

我们知道了一元多项式的表示，那么二元多项式又该如何表示？

广义表

• 广义表是线性表的推广
• 对于线性表而言，n个元素都是基本的单元素
• 广义表中，这些元素不仅可以是单元素也可以是另一个广义表

八、多重链表

多重链表：链表中的节点可能同时隶属于多个链

• 多重链表中结点的指针域会有多个，如前面栗子包含Next和SubList两个指针域
• 但包含两个指针域的链表并不一定是多重链表，比如在双向链表并不是多重链表

用途：在树、图这样相对复杂的数据结构都可以采用多重链表方式实现存储

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