MATLAB通信仿真实例1：无噪声信道下DSB-SC调制解调器

  DSB-SC调制解调器模型如图1所示。若$m(t)=\cos (2\pi f_{m}t)$，$f_m=10$Hz，$c(t)=\cos (2\pi f_{c}t)$，$f_c=100$Hz。
（1）写出$s(t)$的波形以及频谱表达式$S(f)$，分别画出$s(t)$、$S(f)$的示意图。
（2）写出$s_d(t)$的波形以及频谱表达式$S_d(f)$，分别画出$s_d(t)$、$S_d(f)$的示意图。
（3）若解调器中$h(t)$为低通解调器，其作用是使得$m_o(t)=m(t)$，请设计理想低通滤波器$h(t)$，写出$h(t)$、$H(f)$、$m_o(t)$、$M_o(f)$的表达式并画出示意图。（这里可以不用考虑幅度的改变）
（4）用Matlab或者Python实现(3)中低通滤波器$h(t)$的设计，给出滤波器的设计参数以及冲激响应和幅频特性。
（5）用Matlab仿真实现图中的调制器与解调器，观察并记录$m(t)$、$|M(f)|$、$s(t)$、$|S(f)|$、$s_d(t)$、$|S_d(f)|$、$m_o(t)$、$|M_o(f)|$的图形。

图1 DSB-SC调制解调器模型

【参考答案】

（1）$$\begin{array}{rl}s(t)& =m(t)c(t)=\cos 20\pi t\cos 200\pi t\\ S(f)& =\frac{1}{4}[\delta (f-110)+\delta (f-90)+\delta (f+110)+\delta (f+90)]\end{array}$$
(2)
$$\begin{array}{rl}{s}_d(t)& =s(t)\cos 2\pi f_{c}t=m(t){\cos }^{2}2\pi f_{c}t\\ & =\frac{1}{2}m(t)+\frac{1}{2}m(t)\cos 4\pi f_{c}t\\ & =\frac{1}{2}\cos 20\pi t+\frac{1}{2}\cos 20\pi t\cdot \cos 400\pi t\\ S_d(f)& =\frac{1}{4}[\delta (f-10)+\delta (f+10)]+\frac{1}{8}[\delta (f-210)+\delta (f-190)+\delta (f+210)+\delta (f+190)]\end{array}$$
(3)
$$\begin{array}{rl}H(f)& =\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{f}{2f_H})\\ h(t)& ={\mathcal{F}}^{-1}[H(f)]=2f_H\mathrm{S}\mathrm{a}(2\pi f_{H}t)\end{array}$$这里的$f_H$为滤波器的上截止频率。尽管只要$f_m\le f_H\le 2f_c-f_m$就可以将低通信号恢复出来，但我们还是希望$f_H$尽量小。请思考这是为什么呢？事实上，这是考虑到滤波器对噪声的影响，在AWGN信道仿真部分我们再来看这个问题。
$$\begin{array}{rl}{M}_o(f)& =S_d(f)H(f)=\frac{1}{4}[\delta (f-10)+\delta (f+10)]\\ m_o(t)& =s_d(t)\ast h(t)=\frac{1}{2}\cos 20\pi t\end{array}$$

下面我们来看如何实现仿真。代码如下，详见代码注释。各点波形以及频谱分别如图2、图3所示。

%------------------
%系统参数设置
%-----------------
T_start=0;%开始时间
T_stop=1;%截止时间
T=T_stop-T_start;%仿真持续时间
T_sample=1/1000;%采样间隔
f_sample=1/T_sample; % 采样速率
N_sample=T/T_sample;% 采样点数

%-----------------
%波形
%-----------------
n=0:N_sample-1;
f_m=10;
f_c=100;
%__________________________
%调制器各点波形
%—————————————
m=cos(2*pi*f_m*n*T_sample);%m(t)
c=cos(2*pi*f_c*n*T_sample);%c(t)
s=m.*c;%s(t)=m(t)c(t)
%-----------------
%解调器
%-----------------
c1=cos(2*pi*f_c*n*T_sample);%接收机端载波
s_d=s.*c1;%sd(t)=s(t)c1(t)
h=MyLowpass;%fdatool设计h(t)
m_o=conv(s_d,h);%mo(t)=sd(t)*h(t);
mm_o=m_o(length(h)/2:length(h)/2+N_sample-1);%将通过滤波器之后产生的延迟去掉
%-----------------
%绘制各点波形
%-----------------
figure(1)
subplot(3,2,1)
plot(n*T_sample,m);
subplot(3,2,2)
plot(n*T_sample,c);
subplot(3,2,3)
plot(n*T_sample,s);
subplot(3,2,4)
plot(n*T_sample,s_d);
subplot(3,2,5)
nn=0:length(m_o)-1;
plot(nn*T_sample,m_o)
subplot(3,2,6)
plot(n*T_sample,mm_o)
%----------------------------------------------------------------

%-------------------------
%频谱
%-------------------------

%-------------------------
%调制器各点频谱
%-------------------------
MM=abs(fft(m))/N_sample;%M(f)
M(1:N_sample/2)=MM(N_sample/2+1:N_sample);
M(N_sample/2+1:N_sample)=MM(1:N_sample/2);
CC=abs(fft(c))/N_sample;%C(f)
C(1:N_sample/2)=CC(N_sample/2+1:N_sample);
C(N_sample/2+1:N_sample)=CC(1:N_sample/2);
SS=abs(fft(s))/N_sample;%S(f）
S(1:N_sample/2)=SS(N_sample/2+1:N_sample);
S(N_sample/2+1:N_sample)=SS(1:N_sample/2);

%-------------------------
%解调器各点频谱
%-------------------------
SS_d=abs(fft(s_d))/N_sample;%Sd(f)
S_d(1:N_sample/2)=SS_d(N_sample/2+1:N_sample);
S_d(N_sample/2+1:N_sample)=SS_d(1:N_sample/2);
MM_o=abs(fft(mm_o))/NN_sample;%Mo(f)
M_o(1:N_sample/2)=MM_o(N_sample/2+1:N_sample);
M_o(N_sample/2+1:N_sample)=MM_o(1:N_sample/2);


%-------------------------
%绘制各点频谱
%-------------------------
figure(2)
subplot(3,2,1)
plot((n-N_sample/2)/N_sample*f_sample,M);
subplot(3,2,2)
plot((n-N_sample/2)/N_sample*f_sample,C);
subplot(3,2,3)
plot((n-N_sample/2)/N_sample*f_sample,S);
subplot(3,2,4)
plot((n-N_sample/2)/N_sample*f_sample,S_d);
subplot(3,2,5)
plot((n-N_sample/2)/N_sample*f_sample,M_o);

图2 DSB-SC调制解调器各点波形

图3 DSB-SC调制解调器各点频谱

  注意这里低通滤波器的上截止频率$f_H=20$Hz，在fdatool中的设计参数如图4所示。滤波器设计过程详见博文《现代通信原理A.2：FIR低通滤波器设计》。

图4 fdatool中低通滤波器设计界面