全国大学生数学竞赛学习笔记

0. 写在前面

这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

1. 求极限问题

1.1 洛必达

没啥好说的。

1.2 等价无穷小

1.3 Taylor公式

熟记公式~

1.4 两个重要极限

有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

1.5 利用导数或微分定义

看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

1.6 微分中值定理

• 遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
  
  
• 遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
  
  

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性

有这个思想就行。

1.8 利用积分

• 看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
  
  
• 把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$$

• p>1时收敛

$${\int }_2^{+\infty }\frac{1}{x(lnx{)}^p}dx$$

• p>1时收敛

1.9 其他技巧

• 当遇到n次根号常数的情况（n—>无穷），不好求极限，可以考虑用x=1/n来代换，x—>0
  
  

• 

• 

2. 导数的计算

2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义

如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

2.2 隐函数求导 对数求导

当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

2.3 参数方程确定的函数求导

理解过程。

2.4 高阶函数

• Leibniz公式
  
  

• 常见高阶导数

  

2.5 变限积分函数求导

特别注意积分上下限都为x的函数的情况：
$$\frac{d}{dx}({\int }_{\psi (x)}^{\phi (x)}f(t)dt)=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-f[\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)$$

3. 导数的应用

3.1 一元函数应用

3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明

不等式两边形式类似，联想到把同一个参数移动到不等式的同一边，再用函数的单调性（导数）解决。

• 微分中值定理

在遇到这样的不等式证明时，发现等式左边有两个形式相同，参数不同的函数相减，右边是这两个参数直接相减，联想到微分中值定理解决。

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
  
  
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证

3.2 多元函数偏导数的应用

3.2.1 曲线切线和法平面、曲面的切平面和法线

有曲线：
$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

求曲线在(x0,y0,z0)处的切线方程、法平面方程步骤：

1. 方程组两边对x求导，得到关于dy/dx和dz/dx的方程组。（如果是参数方程，则对参数求导）

2. 求解，得到dy/dx和dz/dx的值。

3. 代入切点的值，求出切向量：
   $$（1,dy/dx,dz/dx）$$

4. 得到切线方程：
   $$\frac{(x-x_0)}{1}=\frac{(y-y_0)}{dy/dx}=\frac{(z-z_0)}{dz/dx}$$

5. 得到法平面方程：

   $$1(x-x_0)+dy/dx(y-y_0)+dz/dx(z-z_0)=0$$

有曲面：
$$F(x,y,z)=0$$
则该曲面在(x0,y0,z0)的法向量为：
$$(Fx(x_0,y_0,z_0),Fy(x_0,y_0,z_0),Fz(x_0,y_0,z_0))$$
切线方程：
$$\frac{(x-x_0)}{Fx(x_0,y_0,z_0)}=\frac{(y-y_0)}{Fy(x_0,y_0,z_0)}=\frac{(z-z_0)}{Fz(x_0,y_0,z_0)}$$
切平面方程：
$$Fx(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+Fy(x0,y_0,z_0)(y-y_0)+Fz(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)$$

特殊地，有显式空间曲面方程：
$$z=f(x,y)$$
它的法向量为：
$$\vec{n}=(fx(x_0,y_0),fy(x_0,y_0),-1)$$
这里，为什么会有个-1？可以想象：f(x,y)-z=0求导得到。

3.2.2 多元函数极值

其中，
$$A=fxx(x_0,y_0),B=fxy(x_0,y_0),C=fyy(x_0,y_0)$$

• $$AC-B^2>0$$

  有极值；A<0有极大值，A>0有极小值。
  
  

• $$AC-B^2<0$$

  没有极值。
  
  

• $$AC-B^2=0$$

  极值情况不确定。
  
  

4. 微分中值定理

各微分中值定理关系图：

4.1 Rolle定理

难点主要在于为了证明等式，如何构造合适的辅助函数。

常用的辅助函数（等式右边）构造：
$$f^{\prime }(x)+f(x)=0==>e^{x}f(x)$$

$$f^{\prime }(x)+2f(x)=0==>e^{2x}f(x)$$

$$f^{\prime }(x)-\lambda f(x)=0==>e^{-\lambda x}f(x)$$

$$f^{\prime }(x)+xf(x)=0==>e^{\frac{x^2}{2}}f(x)$$

$$x{f}^{\prime }(x)+f(x)=0==>xf(x)$$

$$f^{\prime }(x)+f(x)g^{\prime }(x)=0==>e^{g(x)}f(x)$$

$$f^{\prime }(x)+f(x)g(x)=0==>f(x)e^{{\int }_a^{x}g(t)dt}$$


f(x)项（注意不是f’(x)）的系数决定了我们如何利用e^x的特殊性质来构造辅助函数。

4.2 Lagrange中值定理

要证明的等式中没有如4.1节中的形式时，考虑拉格朗日中值定理。灵活利用拉格朗日中值定理中两数相减来变换式子。

4.3 Cauchy中值定理

记忆，还是记忆。

5.其它技巧

• 证明一个式子=一个常数时（常见于（反）三角函数），可以先求出该式子的导数为0，再代入一个数（特殊的角度）进去，得证。
  
  
• 遇到求f(x),f’(x),f’’(x)时，考虑Taylor公式。把f(x)展开，再与条件中极限式子中的项相消。
  
  
• 求定积分问题：往往拆开后，分部积分完会有可以相抵消的项。
  
  
• 求积分题中出现
  $$\sqrt{1+x^2}$$
  是很明显的三角代换：
  $$x=tant,dx=se{c}^{2}tdt$$
  两者关系：
  $$se{c}^{2}t=ta{n}^{2}t+1$$