关于DP的几种优化

单调队列优化

通常转移条件满足：
$d p [i] = m a x (d p [j] + a [j]) (∣ j - i ∣ < x)$
即转移条件只跟前面的某一项有关，且满足取最值条件。

斜率优化

通常转移条件满足： $d p [i] = m a x (d p [j] + a [i] * a [j]) (j < i)$
即存在某一项即有 $i$ ,又有 $j$
入门·模板
斜率优化比较复杂，涉及到了数形结合。
斜率优化的第一步是找出状态转移
这道题的 $n^2$ 暴力解法很简单，有转移如下
$dp[i]=min_{0<=j<i}(dp[j]+(\sum_{k=j+1}^{i}C_k+i-j-1-L)^2)$
记 $a_i=i+sum_i$
$a_j=j+sum_j+1+L$
则 $dp_i=min_{0<=j<i}(dp_j+(a_i-b_j)^2)$
另 $f(j)=dp_j+(a_i-b_j)^2$
斜率优化的第二步要推出状态更优的条件
即判断对于 $j < k < i$ ，找到上面转移满足 $f (j) > = f (k)$ 的条件
即k更优于j的条件。
$f(j)-f(k)=dp_j-dp_k-2b_ja_i+b_jb_j+2b_ka_i-b_kb_k>=0$
把有i的部分移到一边：
$dp_j-dp_k+b_jb_j-b_kb_k>=2a_i(b_j-b_k)$
又因为 $b_j<b_k$ ,所以两边同除 $b_j<b_k$ 要取反
$\frac{dp_j+b_jb_j-dp_k-b_kb_k}{b_j-b_k}<=2a_i$
对于 $j, k$ ，在二维坐标系上建点： $b_j,dp_j+b_jb_j)和(b_k,dp_k+b_kb_k)$
那么上述不等式就变成了两点之间的斜率满足的条件
斜率优化的第三步就是要维护点集以及相邻点之间形成的折线了
考虑用单调队列维护这样一个二维坐标系上的点集。
他一定要满足相邻两点之间斜率递增。
在这里插入图片描述
左图维护的即为斜率递增的点集，而右边的则不满足。
那为什么我们一定要维护斜率递增呢？
考虑到我们之前状态更优条件:
即对于 $j < k < i$ ，找到上面转移满足 $f (j) > = f (k)$ 的条件

在这里插入图片描述
假设现在 $j < k < i$ ,如图，i和j之间的斜率小于k与j之间的斜率。
再来看斜率状态的转移

while(l<r&&slope(q[l+1],q[l])<2*a[i])l++;
dp[i]=dp[q[l]]+(a[i]-b[q[l]])*(a[i]-b[q[l]]);
while(l<r&&slope(i,q[r])<slope(q[r],q[r-1]))r--;
q[++r]=i;

显然第一行的转移出现了问题。
即存在 $s l o p e (j, k) > = 2 a [i]$ 但是 $s l o p e (j, i) < 2 a [i]$ 的情况,但此时我们选择的却是 $k$ 点，而不是 $i$ 点。
所以一定要严格维护斜率递增。
(有理解错误欢迎大佬指出)
附上该题代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAXN 50050
ll sum[MAXN];
ll dp[MAXN];
ll n,x;
ll a[MAXN];
ll b[MAXN];
int q[MAXN];
double slope(int i,int j)
{
    
    
    ll x=dp[i]+b[i]*b[i]-dp[j]-b[j]*b[j];
    ll y=b[i]-b[j];
    return double(x)/y;
}
int main()
{
    
    
    scanf("%lld%lld",&n,&x);
    b[0]=x+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    
    
        int c;
        scanf("%d",&c);
        sum[i]=sum[i-1]+c;
        a[i]=sum[i]+i;
        b[i]=sum[i]+i+1+x;
    }
    int l=0;
    int r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    
    
        while(l<r&&slope(q[l+1],q[l])<2*a[i])l++;
        dp[i]=dp[q[l]]+(a[i]-b[q[l]])*(a[i]-b[q[l]]);
        while(l<r&&slope(i,q[r])<slope(q[r],q[r-1]))r--;
        q[++r]=i;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}