CF1120D Power Tree（树形DP/构造+差分+最小生成树）

解法一：树形DP

个人觉得这个方法是比较可能想到的，但是输出方案很恶心

先转换题意：“无论怎样规定叶子的初始点权，都可以通过操作你选择的点来让所有叶子的点权清空”意味着每个叶子节点都可以通过一系列操作单独+1、-1

模拟一下就可以发现，以u为根的子树中，

要想通过控制 $u$ 或 $u$的祖先（不管是 $u$ 还是 $u$的祖先 都同时覆盖了子树内的所有叶子节点）
使子树内所有叶子节点均可以单独+1、-1，

至多一个叶子节点未被覆盖，

且被覆盖的叶子节点一定要可以单独+1、-1

那么状态定义就很显然了：

$f[u][0]$ 表示以 $u$ 为根的子树内叶结点全部被覆盖，

$f[u][1]$ 表示以 $u$ 为根的子树内叶结点剩一个未覆盖

状态转移方程为：

$u$ 非叶子节点：

f [ u ] [ 1 ] = ∑ f [ v i ] [ 0 ] − m a x { f [ v i ] [ 0 ] − f [ v i ] [ 1 ] } f[u][1]=\sum f[v_i][0]-max\{ f[v_i][0]-f[v_i][1]\} f[u][1]=∑f[vi​][0]−max{ f[vi​][0]−f[vi​][1]}

f [ u ] [ 0 ] = m i n { ∑ f [ v i ] [ 0 ] , f [ u ] [ 1 ] + c [ u ] } f[u][0]=min\{\sum f[v_i][0],f[u][1]+c[u]\} f[u][0]=min{ ∑f[vi​][0],f[u][1]+c[u]}

$u$ 为叶子节点：

$f[u][1]=0$

$f[u][0]=c[u]$

至于如何输出方案，可以看一下这里

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解法二：构造 + 差分 + 最小生成树

博客

补充一下自己的理解：

区间加操作，$l_u$ 加一个数，$r_u+1$ 减一个数，最后每个数的实际值是前面各数（包括自己）的和

题目要求第1至k个数的前缀和均为0，

则第1至k个数均为0，只有第k+1个数最后不为0（即前面的数通过操作把值全部转移到第k+1个数去）

操作就是我们连的边

那么就只有选择的边构成连通图才能办到