Educational Codeforces Round 104 (Rated for Div. 2) E. Cheap Dinner
题意
给定 n 1 n_1 n1种第一道菜的价格 a i a_i ai， n 2 n_2 n2种第二道菜的价格 b i b_i bi， n 3 n_3 n3种饮料的价格 c i c_i ci， n 4 n_4 n4种甜点的价格 d i d_i di
有 m 1 m_1 m1种组合 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)，描述编号为 x i x_i xi的第一道菜与编号为 y i y_i yi的第二道菜不能搭配
有 m 2 m_2 m2种组合 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)，描述编号为 x i x_i xi的第二道菜与编号为 y i y_i yi的饮料不能搭配
有 m 3 m_3 m3种组合 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)，描述编号为 x i x_i xi的饮料与编号为 y i y_i yi的甜点不能搭配
问是否能够每种种类的食物都分别挑选一种，它们可以互相搭配且总花费最小
限制
1 ≤ n 1 , n 2 , n 3 , n 4 ≤ 150000 1\le n_1,n_2,n_3,n_4\le 150000 1≤n1,n2,n3,n4≤150000
1 ≤ a i , b i , c i , d i ≤ 1 0 8 1\le a_i,b_i,c_i,d_i\le 10^8 1≤ai,bi,ci,di≤108
1 ≤ m 1 , m 2 , m 3 ≤ 200000 1\le m_1,m_2,m_3\le 200000 1≤m1,m2,m3≤200000
思路
很容易想到是费用流的模板题，但费用流会出现 n 2 n^2 n2条边，这题显然不可行
由于每种限制仅针对两种种类的食物，所以可以想到拆成三部分的二分图来做（当然不是二分图匹配）
我们可以先处理第二道菜
原本 b i b_i bi表示的是“编号为 i i i的第二道菜的价格”
我们可以将 { a } \{a\} { a}引入，从而让 b i b_i bi表示“编号为 i i i的第二道菜与某一种第一道菜搭配所能得到的最小花费”
即 b i = b i + m i n { a j } b_i=b_i+min\{a_j\} bi=bi+min{ aj}，其中 a j a_j aj与 b i b_i bi能够搭配
处理好 b i b_i bi后，接下来处理饮料时
原本 c i c_i ci表示的是“编号为 i i i的饮料的价格”
引入 { b } \{b\} { b}，从而让 c i c_i ci表示“编号为 i i i的饮料与其所能搭配的 b i b_i bi相加后，能得到的最小花费”
即 c i = c i + m i n { b j } c_i=c_i+min\{b_j\} ci=ci+min{ bj}，其中 b j b_j bj与 c i c_i ci能够搭配
d i d_i di同理，最终表示“编号为 i i i的甜点与其所能搭配的 c i c_i ci相加后，能得到的最小花费”
显而易见，答案就是 d i d_i di中的最小值
以将 { a } \{a\} { a}引入 b i b_i bi为例
如果我们想求出 b i = b i + m i n { a j } b_i=b_i+min\{a_j\} bi=bi+min{ aj}，其中 a j a_j aj与 b i b_i bi能够搭配
最简便的方法就是枚举所有 a j a_j aj，但这样的时间复杂度就会来到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，显然不可行
我们可以将数据存入结构体，记录原本的编号以及价格，将 { a } \{a\} { a}进行排序
我们可以将所有不合法的搭配 ( x , y ) (x,y) (x,y)存进set容器中，由于是对每个 b i b_i bi找出最小的 a j a_j aj，所以往编号为 y y y的set容器内插入值 x x x，表示 { b } \{b\} { b}中的 y y y不能与 { a } \{a\} { a}中的 x x x进行搭配
然后我们按顺序遍历排序后的 { a } \{a\} { a}，每次在编号为 i i i的set容器中二分查找是否存在一个值为 j j j的元素
如果不存在，说明此时的 b i b_i bi与 a j a_j aj能够进行搭配，由因为保证了 a j a_j aj是目前的最小值，所以直接让 b i = b i + a j b_i=b_i+a_j bi=bi+aj即可，其后结束此次遍历
这种方法的时间复杂度为 O ( n l o g m ) O(nlogm) O(nlogm)
将 { b } \{b\} { b}引入 c i c_i ci，将 { c } \{c\} { c}引入 d i d_i di同理，详见代码注释
代码
(560ms/4000ms)
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=150050;
struct node
{
int id,val;
bool operator < (const node& a) const
{
return val<a.val;
}
}a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn];
int n1,n2,n3,n4;
set<int> v1[maxn],v2[maxn],v3[maxn];
void input()
{
cin>>n1>>n2>>n3>>n4;
rep(i,1,n1)
cin>>a[i].val,a[i].id=i;
rep(i,1,n2)
cin>>b[i].val,b[i].id=i;
rep(i,1,n3)
cin>>c[i].val,c[i].id=i;
rep(i,1,n4)
cin>>d[i].val,d[i].id=i;
int m1,m2,m3;
cin>>m1;
while(m1--)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
v1[b].insert(a); //往编号为b的容器内插入a
}
cin>>m2;
while(m2--)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
v2[b].insert(a);
}
cin>>m3;
while(m3--)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
v3[b].insert(a);
}
}
void solve()
{
input();
sort(a+1,a+1+n1); //对{a}进行排序
rep(i,1,n2) //遍历所有bi
{
bool flag=false;
rep(j,1,n1) //对于每一个bi，遍历排完序后的{a}
{
if(v1[i].find(a[j].id)==v1[i].end()) //如果aj与bi能够搭配
{
b[i].val=min(a[j].val+b[i].val,INF); //直接相加即可，注意与无穷大取小，方便数据处理
flag=true;
break; //找到之后就可以直接跳出此次遍历
}
}
if(!flag)
b[i].val=INF; //如果不存在搭配，将其标记为无穷大
}
sort(b+1,b+1+n2); //下同
rep(i,1,n3)
{
bool flag=false;
rep(j,1,n2)
{
if(v2[i].find(b[j].id)==v2[i].end())
{
c[i].val=min(b[j].val+c[i].val,INF);
flag=true;
break;
}
}
if(!flag)
c[i].val=INF;
}
sort(c+1,c+1+n3);
rep(i,1,n4)
{
bool flag=false;
rep(j,1,n3)
{
if(v3[i].find(c[j].id)==v3[i].end())
{
d[i].val=min(c[j].val+d[i].val,INF);
flag=true;
break;
}
}
if(!flag)
d[i].val=INF;
}
sort(d+1,d+1+n4);
if(d[1].val==INF)
cout<<"-1\n";
else
cout<<d[1].val<<'\n';
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
solve();
return 0;
}