Codeforces 1490G - Old Floppy Drive （二分、数学）

Codeforces Round #702 (Div. 3) G. Old Floppy Drive

题意

给定一个包含$n$个整数的数组 { a } \{a\} { a}，可以循环延申至无穷个元素（定义编号$n$的后一个元素为编号$1$）

再给定$m$个询问$x$，对于每个$x$

问无穷数组 { a } \{a\} { a}的前缀和数组 { S } \{S\} { S}中，第一次出现$S_i\ge x$的下标$i$是多少（输出时下标要$-1$）

若不存在，输出$-1$

限制

$1\le T\le 10^4$

$1\le n,m\le 2\cdot 10^5$

$-10^9\le a_i\le 10^9$

$1\le x_i\le 10^9$

$\sum n\le 2\cdot 10^5,\sum m\le 2\cdot 10^5$

思路

注意求的是第一次出现$a_i\ge x$的下标$i$，不是$a_i=x$（读错题了，可惜）

记$S_k={\sum }_{i=1}^k{a}_i,M_k={\max }_{i=1}^k{S}_i$

根据 { M } \{M\} { M}的定义

如果$M_n\ge x$，说明答案存在于$1$到$n$之间

又因为 { M } \{M\} { M}是非递减数组，所以可以通过二分查找来直接找到最小下标

否则，对$S_n$的正负性质进行讨论

• 如果$S_n\le 0$，又因为此时$M_n<x$，所以不存在任何一种状态满足$S_i\ge x$，故输出$-1$
• 如果$S_n>0$，

根据题意，$S_{i+n}=S_i+S_n$

定义$d=x-M_n$，表示询问的值与$1$到$n$中所能得到最大的值的差值

于是发现，要想得到大于等于$x$的数，$1$到$n$中的最大值$M_n$还需要加上$\lceil \frac{d}{S_n}\rceil$遍$S_n$才行

据上述，得到$M_n+\lceil \frac{d}{S_n}\rceil \ast S_n\ge x$

即$M_n\ge x-\lceil \frac{d}{S_n}\rceil \ast S_n$

故让$x$减去$\lceil \frac{d}{S_n}\rceil \ast S_n$后，便能通过二分查找来直接找到最小下标，最后将下标加上$\lceil \frac{d}{S_n}\rceil \ast n$即为答案

代码

(202ms/2000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll mx[200050];

void solve()
{
    
    
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    
    ll s=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    
    
        ll d;
        cin>>d;
        s+=d;
        mx[i]=max(mx[i-1],s);
    }
    
    while(m--)
    {
    
    
        ll q;
        cin>>q;
        if(mx[n]>=q)
            cout<<(lower_bound(mx+1,mx+1+n,q)-mx)-1<<' ';
        else
        {
    
    
            if(s<=0)
                cout<<"-1 ";
            else
            {
    
    
                ll d=q-mx[n];
                ll tim=(d+s-1)/s;
                q-=tim*s;
                cout<<(lower_bound(mx+1,mx+1+n,q)-mx+tim*n)-1<<' ';
            }
        }
    }
    cout<<'\n';
}

int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;cin>>T;while(T--)
        solve();
    return 0;
}

https://www.cnblogs.com/stelayuri/p/14408083.html