【分治】BZOJ4979 [Lydsy八月月赛] 凌晨三点的宿舍

【题目】
原题地址
给定一个$n$栋的公寓，第$i$栋公寓高$h_i$，对于一个房间，它上下左右四个方向的房间和它距离为1。现在有$m$个亮灯的房间，问这些房间中距离不超过$k$的有多少对。

【题目分析】
第一眼看到这题，感觉这是一棵树。又看了看数据范围，不会是个树分治吧？
不过想了一会发现不是很可做，然后考虑单独抽出一段区间的公寓怎么做，然后就可以分治了。
（实际上就是一眼看破是分治了好不好，虽然我不太会做啦）

【解题思路】
这道题还是不错的qwq。
对于两个房间$A,B$，不妨设$x_A\leq x_B$，那么有：

$$dis(A,B) = x_B -x_A + y_A + y_B -2\times min(y_A,y_B,h_{x_A},h_{x_{A+1}},\dots ,h_{x_B})$$
若 $x_A =x_B$，那么直接按照 $y$排序然后双指针统计答案即可，接下来只需要考虑 $x_A < x_B$的情况。
对序列 $h$进行分治，设 $solve(l,r)$表示处理所有 $l \leq x_A < x_B \leq r$ 的点对。
取 $mid =\lfloor \frac {l+r} 2 \rfloor$，那么递归调用 $solve(l,mid)$ 和 $solve(mid+1,r)$ 后，只需要处理 $l \leq x_A \leq mid < x_B \leq r$ 的点对。
设 $f_i$表示 $min(h_i,h_{i+1},\dots,h_{mid})$， $g_i$表示 $min(h_{mid+1},\dots,h_{i-1},h_i)$，则：
$$dis(A,B) = x_B -x_A + y_A + y_B -2\times min(y_A,y_B,h_{x_A},h_{x_{A+1}},\dots ,h_{x_B}) \\ \qquad \qquad \quad= x_B -x_A + y_A + y_B -2\times min(min(y_A,f_{x_A}),min(y_B,g_{x_B}))$$
枚举 $min$落在 $A$还是 $B$，扫描线 + 树状数组统计即可。
时间复杂度 $O(nlogn + mlog^2n)$。

话说我迷之RE，怒开2倍过了。。。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=2e5+10;
const int M=N*3;
int n,m,k,tot,T;
int h[N<<1],g[N<<1],q[N<<1],head[N<<1];
int tr[M<<1],vis[M<<1];
LL ans;

struct Tway
{
    int v,nex;
    Tway(){}
    Tway(int vv,int nexx){
        v=vv;nex=nexx;
    }
};
Tway e[M<<1];

struct Tnode
{
    int w,x,y;
    Tnode(){}
    Tnode(int ww,int xx,int yy){
        w=ww;x=xx;y=yy;
    }
};
Tnode qa[N],qb[N];

void add(int u,int v)
{
    e[++tot]=(Tway){v,head[u]};head[u]=tot;
}

bool cmp(Tnode A,Tnode B)
{
    return A.w<B.w;
}

void work(int x)
{
    int qs=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
        q[++qs]=e[i].v;
    if(qs<=1)
        return;
    sort(q+1,q+qs+1);
    for(int i=1,j=1;i<=qs;++i)
    {
        while(j<qs && q[j+1]-q[i]<=k)
            ++j;
        ans+=j-i;
    }
}

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void update(int x)
{
    x+=N;
    for(;x<M;x+=lowbit(x))
        if(vis[x]<T)
            vis[x]=T,tr[x]=1;
        else
            tr[x]++;
}

void query(int x)
{
    x=min(x+N,M-1);
    for(;x>0;x-=lowbit(x))
        if(vis[x]==T)
            ans+=tr[x];
}

void solve(int l,int r)
{
    if(l==r)
        return;
    int mid=(l+r)>>1,ca=0,cb=0;
    solve(l,mid);solve(mid+1,r);

    for(int i=mid,tp=N;i>=l;--i)
    {
        tp=min(tp,h[i]);
        for(int j=head[i];j;j=e[j].nex)
            qa[++ca]=(Tnode){min(tp,e[j].v),i,e[j].v};
    }
    for(int i=mid+1,tp=N;i<=r;++i)
    {
        tp=min(tp,h[i]);
        for(int j=head[i];j;j=e[j].nex)
            qb[++cb]=(Tnode){min(tp,e[j].v),i,e[j].v};
    }
    if(!ca || !cb)
        return;
    sort(qa+1,qa+ca+1,cmp);
    sort(qb+1,qb+cb+1,cmp);

    ++T;
    for(int i=ca,j=cb;i;--i)
    {
        while(j && qa[i].w<=qb[j].w)
            update(qb[j].x+qb[j].y),--j;
        query(k+2*qa[i].w+qa[i].x-qa[i].y);
    }
    ++T;
    for(int i=cb,j=ca;i;--i)
    {
        while(j && qb[i].w<qa[j].w)
            update(qa[j].y-qa[j].x),--j;
        query(k+2*qb[i].w-qb[i].x-qb[i].y);
    }
}

int main()
{
    freopen("BZOJ4979.in","r",stdin);
    freopen("BZOJ4979.out","w",stdout);

    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&h[i]);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        work(i);
    solve(1,n);
    printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}

【总结】
水了这么久题目终于遇到一道难一点的分治题了qwq。