数据结构和算法学习笔记六_树结构的实际应用(2)
学习视频：尚硅谷韩老师Java讲解数据结构与算法
一、二叉排序树
1.1、二叉排序树基本介绍
二叉排序树：BST: (Binary Sort(Search) Tree), 对于二叉排序树的任何一个非叶子节点，要求左子节点的值比当
前节点的值小，右子节点的值比当前节点的值大。
特别说明：如果有相同的值，可以将该节点放在左子节点或右子节点
比如数据 (7, 3, 10, 12, 5, 1, 9) ，对应的二叉排序树为：
1.2、二叉排序树创建和遍历
代码实现：
package com.lxf.binarysorttree;
public class BinaryTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int[] arr={
7,3,10,12,5,1,9};
BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();
//循环的添加结点到二叉排序树
for (int i : arr) {
binarySortTree.add(new Node(i));
}
//中序遍历:1 3 5 7 9 10 12(预期)
binarySortTree.midOrder();
}
}
class BinarySortTree{
private Node root;
/**
* 添加结点的方法
* @param node
*/
public void add(Node node){
if (root == null) {
root=node;//如果root为空，直接让root指向node
}else{
root.add(node);
}
}
/**
* 中序遍历
*/
public void midOrder(){
if(root!=null){
root.midOrder();
}else{
System.out.println("根节点为空，无法遍历!");
}
}
}
/**
* 创建node结点
*/
class Node{
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value){
this.value=value;
}
/**
* 添加结点的方法
* 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的基本要求
* @param node
*/
public void add(Node node){
if (node == null) {
return;
}
//判断传入的结点的值，和当前子树的根节点的值关系
if(node.value<this.value){
//如果当前结点左子结点为null
if(this.left==null){
this.left=node;
}else{
//递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
}else{
//添加的结点的值大于或等于当前结点的值
if (this.right == null) {
this.right=node;
}else{
//递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
}
/**
* 中序遍历
*/
public void midOrder(){
if(this.left!=null){
this.left.midOrder();
}
System.out.print(this+" ");
if(this.right!=null){
this.right.midOrder();
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
1.3、二叉排序树的删除
1.3.1、问题分析：
二叉排序树的删除情况比较复杂，有下面三种情况需要考虑
-
删除叶子节点 (比如：2, 5, 9, 12)
-
删除只有一颗子树的节点 (比如：1)
-
删除有两颗子树的节点. (比如：7, 3，10 )
1.3.2、问题分析操作的思路分析:
第一种情况：删除叶子结点(比如：2，5，9，12)
思路：
-
先去找到要删除的结点,targetNode
-
找到targetNode的父节点的parent
-
确定targetNode是parent的左子结点，还是右子结点
-
根据前面的情况来对应删除
左子结点：parent.left=null
右子结点：parent.right=null
第二种情况：删除只有一颗子树的节点，比如值为1的结点
思路：
-
先去找到要删除的结点 targeNode
-
找到targeNode的父结点parent
-
确定targeNode的子节点是左子结点还是右子结点
-
判断targetNode是parent的左子结点还是左子结点
- targetNode是parent的左子结点
- targeNode的子节点也是左子结点，则parent.left=targetNode.left;
- targetNode的子节点是右子结点，则parent.left=targeNode.right;
- targetNode是parent的右子结点
- targeNode的子节点是左子结点，则parent.right=targetNode.left;
- targeNode的子节点也是右子结点，则parent.right=targetNode.right;
- targetNode是parent的左子结点
第三种情况：有两颗子树的节点，比如值为10的结点
思路：
- 先去找到要删除的结点targerNode
- 找到targetNode的父节点parent
- 从targeNode的右子树找到最小的结点
- 用一个临时变量，将最小结点的值保存temp=12
- 删除该最小结点
- targetNode.value=temp
代码实现：
package com.lxf.binarysorttree;
public class BinaryTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int[] arr={
7,3,10,12,5,1,9,2};
BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();
//循环的添加结点到二叉排序树
for (int i : arr) {
binarySortTree.add(new Node(i));
}
//中序遍历:1 3 5 7 9 10 12(预期)
System.out.println("中序遍历二叉排序树:");
binarySortTree.midOrder();
//测试删除叶子结点
binarySortTree.delNode(7);
System.out.println("删除结点后：");
binarySortTree.midOrder();
}
}
class BinarySortTree{
private Node root;
/**
* 查找要删除的结点
* @param value 查找的值
* @return 返回要删除的结点
*/
public Node search(int value){
if (root == null) {
return null;
}else{
return root.search(value);
}
}
/**
* 查找要删除的结点的父节点
* @param value 查找的值
* @return 返回要删除的结点的父节点
*/
public Node searchParent(int value){
if (root == null) {
return null;
}else{
return root.searchParent(value);
}
}
/**
* 方法：
* 1.返回以node.right为根节点的二叉排序树的最小结点值
* 2.删除node.为结点的二叉排序树的最小的结点
*
* @param node 传入的结点(当做排序二叉排序树的根结点)
* @return 返回的以node为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node){
Node target=node.right;
//循环的查找左节点
while(target.left!=null){
target=target.left;
}
//这时target就指向了最小结点
//删除最小结点
delNode(target.value);
return target.value;
}
/**
* 删除结点
* @param value
*/
public void delNode(int value){
if (root == null) {
return;
}else{
//1.先找到要删除的结点，targetNode
Node targetNode = search(value);
//如果没有找到要删除的结点
if (targetNode == null) {
return;
}
//如果我们发现当前这棵二叉排序树只有一个结点
if (root.left == null&&root.right==null) {
root=null;
return;
}
//去找到targetNode的父结点
Node parent=searchParent(value);
//如果要删除的结点是叶子结点
if(targetNode.left==null&&targetNode.right==null){
//判断targetNode是父结点的左子结点，还是右子结点
if(parent.left!=null&&parent.left.value==value){
parent.left=null;
}else if(parent.right!=null&&parent.right.value==value){
//是右子结点
parent.right=null;
}
}else if(targetNode.left!=null&&targetNode.right!=null){
//删除有两个颗子树的结点
int minValue=delRightTreeMin(targetNode);
targetNode.value=minValue;
}else{
//删除只有一颗子树的结点
//如果要删除的结点有左子结点
if (targetNode.left != null) {
if(parent==null){
//如果删除的是根节点
root=targetNode.left;
}if (parent.left.value==value) {
//如果targeNode是parent的左子结点
parent.left=targetNode.left;
}else{
//targetNode是parent的右子结点
parent.right=targetNode.left;
}
}else{
if(parent==null){
//如果删除的是根节点
root=targetNode.right;
}if (parent.left.value==value) {
//如果targeNode是parent的左子结点
parent.left=targetNode.right;
}else{
//targetNode是parent的右子结点
parent.right=targetNode.right;
}
}
}
}
}
/**
* 添加结点的方法
* @param node
*/
public void add(Node node){
if (root == null) {
root=node;//如果root为空，直接让root指向node
}else{
root.add(node);
}
}
/**
* 中序遍历
*/
public void midOrder(){
if(root!=null){
root.midOrder();
}else{
System.out.println("根节点为空，无法遍历!");
}
}
}
/**
* 创建node结点
*/
class Node{
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value){
this.value=value;
}
/**
* 查找要删除的结点
* @param value 希望删除的结点的值
* @return 如果找到返回该结点，否则返回null
*/
public Node search(int value){
if(value==this.value){
return this;
}else if(value<this.value){
//如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
//如果左子结点为空返回null,否则向左查询
return this.left==null?null:this.left.search(value);
}else{
//如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
//如果右子结点为空返回null,否则向右查询
return this.right==null?null:this.right.search(value);
}
}
/**
* 查找要删除结点的父结点
* @param value 要找到的结点的值
* @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null
*/
public Node searchParent(int value){
//如果当前结点就是要删除结点的父节点，就返回
if((this.left!=null&&this.left.value==value)||(this.right!=null&&this.right.value==value)){
return this;
}else{
//如果查找的值小于当前结点的值，并且当前结点的左子结点不为空
if(value<this.value&&this.left!=null){
return this.left.searchParent(value);//向左子树递归查找
}else if(value>=this.value&&this.right!=null){
return this.right.searchParent(value);//向右子树递归查找
}else{
return null;//没有找到父节点
}
}
}
/**
* 添加结点的方法
* 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的基本要求
* @param node
*/
public void add(Node node){
if (node == null) {
return;
}
//判断传入的结点的值，和当前子树的根节点的值关系
if(node.value<this.value){
//如果当前结点左子结点为null
if(this.left==null){
this.left=node;
}else{
//递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
}else{
//添加的结点的值大于或等于当前结点的值
if (this.right == null) {
this.right=node;
}else{
//递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
}
/**
* 中序遍历
*/
public void midOrder(){
if(this.left!=null){
this.left.midOrder();
}
System.out.print(this+" ");
if(this.right!=null){
this.right.midOrder();
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
1.3.2、课后练习：
完成老师代码，并使用第二种方式来解决，如果我们从左子树找到最大的结点，然后前面的思路完成.
其实把delRightTreeMin方法稍微改下就可以了
/**
* 方法：
* 1.返回以node.left为根节点的二叉排序树的最大结点值
* 2.删除node.left为结点的二叉排序树的最小的结点
*
* @param node 传入的结点(当做排序二叉排序树的根结点)
* @return 返回的以node为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node){
Node target=node.left;
//循环的查找右节点
while(target.left!=null){
target=target.right;
}
//这时target就指向了最小结点
//删除最小结点
delNode(target.value);
return target.value;
}
二、平衡二叉树
2.1、平衡二叉树基本介绍
平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树， 可以保证查询效率较高。
具有以下特点：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
举例说明, 看看下面哪些AVL树, 为什么?
-
第一棵树左子树的高度为2，右子树高度为1，满足要求
-
第二棵树左子树的高度为2， 右子树高度也为2，满足要求
-
第三棵树的左子树高度为3， 右子树高度也为1，3-1=2>1.不满足要求
2.2、看一个案例(说明二叉排序树可能的问题)
给你一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在.
左边 BST 存在的问题分析:
-
左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
-
插入速度没有影响
-
查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥 BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比
单链表还慢
- 解决方案-平衡二叉树(AVL)
2.3.1、转化为平衡二叉树–单旋转(左旋转)
-
要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {4,3,6,5,7,8}
-
思路分析(示意图)
2.3.2、转化为平衡二叉树–单旋转(右旋转)
-
要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {10,12, 8, 9, 7, 6}
-
思路分析(示意图)
2.3.3、转化为平衡二叉树–双旋转(右旋转)
前面的两个数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但是在某些情况下，单旋转
不能完成平衡二叉树的转换。比如数列
int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树.
int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; // 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树
2.3.4、代码实现
package com.lxf.avl;
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
//int[] arr={4,3,6,5,7,8};//左旋测试数组
//左旋平衡处理前树高度：4
//在左旋平衡处理前树左子树高度：3
//在左旋平衡处理前树右子树高度：1
//int[] arr={10,12,8,9,7,6};//右旋测试数组
//右旋平衡处理前树高度：4
//在右旋平衡处理前树左子树高度：3
//在右旋平衡处理前树右子树高度：1
int[] arr={
10, 11, 7, 6, 8, 9};//双旋测试数组
//创建一个AVLTree对象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
for (int value : arr) {
avlTree.add(new Node(value));
}
//遍历
System.out.println("中序遍历：");
avlTree.midOrder();
System.out.println();
System.out.println("在左旋或右旋平衡处理后树高度:"+avlTree.getRoot().height());//3
System.out.println("在左旋或右旋平衡处理后树左子树高度:"+avlTree.getRoot().leftHeight());//2
System.out.println("在左旋或右旋平衡处理后树右子树高度:"+avlTree.getRoot().rightHeight());//2
}
}
/**
* 创建平衡二叉树
*/
class AVLTree{
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
/**
* 查找要删除的结点
* @param value 查找的值
* @return 返回要删除的结点
*/
public Node search(int value){
if (root == null) {
return null;
}else{
return root.search(value);
}
}
/**
* 查找要删除的结点的父节点
* @param value 查找的值
* @return 返回要删除的结点的父节点
*/
public Node searchParent(int value){
if (root == null) {
return null;
}else{
return root.searchParent(value);
}
}
/**
* 方法：
* 1.返回以node为根节点的二叉排序树的最小结点值
* 2.删除node为结点的二叉排序树的最小的结点
*
* @param node 传入的结点(当做排序二叉排序树的根结点)
* @return 返回的以node为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node){
Node target=node.right;
//循环的查找左节点
while(target.left!=null){
target=target.left;
}
//这时target就指向了最小结点
//删除最小结点
delNode(target.value);
return target.value;
}
/**
* 删除结点
* @param value
*/
public void delNode(int value){
if (root == null) {
return;
}else{
//1.先找到要删除的结点，targetNode
Node targetNode = search(value);
//如果没有找到要删除的结点
if (targetNode == null) {
return;
}
//如果我们发现当前这棵二叉排序树只有一个结点
if (root.left == null&&root.right==null) {
root=null;
return;
}
//去找到targetNode的父结点
Node parent=searchParent(value);
//如果要删除的结点是叶子结点
if(targetNode.left==null&&targetNode.right==null){
//判断targetNode是父结点的左子结点，还是右子结点
if(parent.left!=null&&parent.left.value==value){
parent.left=null;
}else if(parent.right!=null&&parent.right.value==value){
//是右子结点
parent.right=null;
}
}else if(targetNode.left!=null&&targetNode.right!=null){
//删除有两个颗子树的结点
int minValue=delRightTreeMin(targetNode);
targetNode.value=minValue;
}else{
//删除只有一颗子树的结点
//如果要删除的结点有左子结点
if (targetNode.left != null) {
if(parent==null){
//如果删除的是根节点
root=targetNode.left;
}if (parent.left.value==value) {
//如果targeNode是parent的左子结点
parent.left=targetNode.left;
}else{
//targetNode是parent的右子结点
parent.right=targetNode.left;
}
}else{
if(parent==null){
//如果删除的是根节点
root=targetNode.right;
}if (parent.left.value==value) {
//如果targeNode是parent的左子结点
parent.left=targetNode.right;
}else{
//targetNode是parent的右子结点
parent.right=targetNode.right;
}
}
}
}
}
/**
* 添加结点的方法
* @param node
*/
public void add(Node node){
if (root == null) {
root=node;//如果root为空，直接让root指向node
}else{
root.add(node);
}
}
/**
* 中序遍历
*/
public void midOrder(){
if(root!=null){
root.midOrder();
}else{
System.out.println("根节点为空，无法遍历!");
}
}
}
/**
* 创建node结点
*/
class Node{
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value){
this.value=value;
}
/**
* 左旋转方法
*/
private void leftRotate(){
//以当前根节点的值创建新的结点
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left=left;
//把新的结点的右子树设置成当前结点的右子树的左子树
newNode.right=right.left;
//当前结点的值替换成右子结点的值
value=right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点的右子树的右子树
right=right.right;
//把当前结点的左子结点设置成新的结点
left=newNode;
}
/**
* 右旋转方法
*/
private void rightRotate(){
//以当前根节点的值创建新的结点
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的右子树
newNode.right=right;
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树的右子树
newNode.left=left.right;
//当前结点的值替换成左子结点的值
value=left.value;
//把当前结点的左子树设置成当前结点的左子树的左子树
left=left.left;
//把当前结点的右子结点设置成新的结点
right=newNode;
}
/**
* 返回左子树的高度
* @return
*/
public int leftHeight(){
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}
/**
* 返回右子树的高度
* @return
*/
public int rightHeight(){
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}
/**
* 返回当前结点的高度，以该结点为根节点的树的高度
* @return
*/
public int height(){
return Math.max(left==null?0:left.height(),right==null?0:right.height())+1;
}
/**
* 查找要删除的结点
* @param value 希望删除的结点的值
* @return 如果找到返回该结点，否则返回null
*/
public Node search(int value){
if(value==this.value){
return this;
}else if(value<this.value){
//如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
//如果左子结点为空返回null,否则向左查询
return this.left==null?null:this.left.search(value);
}else{
//如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
//如果右子结点为空返回null,否则向右查询
return this.right==null?null:this.right.search(value);
}
}
/**
* 查找要删除结点的父结点
* @param value 要找到的结点的值
* @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null
*/
public Node searchParent(int value){
//如果当前结点就是要删除结点的父节点，就返回
if((this.left!=null&&this.left.value==value)||(this.right!=null&&this.right.value==value)){
return this;
}else{
//如果查找的值小于当前结点的值，并且当前结点的左子结点不为空
if(value<this.value&&this.left!=null){
return this.left.searchParent(value);//向左子树递归查找
}else if(value>=this.value&&this.right!=null){
return this.right.searchParent(value);//向右子树递归查找
}else{
return null;//没有找到父节点
}
}
}
/**
* 添加结点的方法
* 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的基本要求
* @param node
*/
public void add(Node node){
if (node == null) {
return;
}
//判断传入的结点的值，和当前子树的根节点的值关系
if(node.value<this.value){
//如果当前结点左子结点为null
if(this.left==null){
this.left=node;
}else{
//递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
}else{
//添加的结点的值大于或等于当前结点的值
if (this.right == null) {
this.right=node;
}else{
//递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个结点后，(右子树的高度-左子树的高度)>1,左旋转
if(rightHeight()-leftHeight()>1){
//如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的高度
if(right!=null&&right.leftHeight()>right.rightHeight()){
//先对当前结点的右结点(右子树)->右旋转
right.rightRotate();
}
//再左旋
leftRotate();
return;
}
//当添加完一个结点后，(左子树的高度-右子树的高度)>1,右旋转
if(leftHeight()-rightHeight()>1){
//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
if(left!=null&&left.rightHeight()>left.leftHeight()){
//先对当前结点的左结点(左子树)->左旋转
left.leftRotate();
}
//再右旋
rightRotate();
return;
}
}
/**
* 中序遍历
*/
public void midOrder(){
if(this.left!=null){
this.left.midOrder();
}
System.out.print(this+" ");
if(this.right!=null){
this.right.midOrder();
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
三、多路查找树
3.1、 二叉树与 B 树
二叉树的问题分析
二叉树的操作效率较高，但是也存在问题, 请看下面的二叉树
- 二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如 1 亿)， 就
存在如下问题:
- 问题 1：在构建二叉树时，需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，
速度有影响
- 问题 2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度.
3.2、多叉树
- 在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，
就是多叉树（multiway tree）
-
后面我们讲解的 2-3 树，2-3-4 树就是多叉树，多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。
-
举例说明(下面 2-3 树就是一颗多叉树)
3.3、B 树的基本介绍
B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 i/o 读写次数来提升效率。
-
如图 B 树通过重新组织节点， 降低了树的高度.
-
文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为 4k)， 这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
-
将树的度 M 设置为 1024，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛
应用于文件存储系统以及数据库系统中
3.4、2-3 树
2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点:
-
2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
-
有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
-
有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.
-
2-3 树是由二节点和三节点构成的树。
3.5、2-3 树应用案例
将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3 树的过程.)
插入规则:
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2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
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有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
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有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
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当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，
拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
- 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则
其它说明
除了 23 树，还有 234 树等，概念和 23 树类似，也是一种 B 树。 如图:
3.6、 B 树
3.6.1、B 树的介绍
B-tree 树即 B 树，B 即 Balanced，平衡的意思。有人把 B-tree 翻译成 B-树，容易让人产生误解。会以为 B-树
是一种树，而 B 树又是另一种树。实际上，B-tree 就是指的 B 树。
前面已经介绍了 2-3 树和 2-3-4 树，他们就是 B 树(英语：B-tree 也写成 B-树)，这里我们再做一个说明，我们在学
习 Mysql 时，经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的，如图:
对上图的说明:
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B 树的阶：节点的最多子节点个数。比如 2-3 树的阶是 3，2-3-4 树的阶是 4
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B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询
关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
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关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.
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搜索有可能在非叶子结点结束
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其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找
3.7、B+树
B+树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。
对上图的说明:
- B+树的搜索与 B 树也基本相同，区别是 B+树只有达到叶子结点才命中（B 树可以在非叶子结点命中），其性
能也等价于在关键字全集做一次二分查找
- 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字(数据)
恰好是有序的。
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不可能在非叶子结点命中
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非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
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更适合文件索引系统
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B 树和 B+树各有自己的应用场景，不能说 B+树完全比 B 树好，反之亦然.
3.8、B*树
B*树是 B+树的变体，在 B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。
B*树的说明:
- B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为 2/3，而 B+树的块的最低使用率为的
1/2。
- 从第 1 个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比 B+树要低，空间使用率更高