【凸包维护-可并堆】LGP3642[APIO2016]烟火表演

【题目】
原题地址
题目大意：给你一棵带边权的有根树，你可以任意修改树的边权，问最少修改总和为多少的边权，能使得根节点到所有叶子节点的距离相同。

【题目分析】
暴力思考以后发现就是一个凸包合并之类的，但是这个合并很耐人寻味。

【解题思路】
APIO的题真是太妙了啊！

首先我们设f(i,x)为点i在它所有叶子节点深度为x时的最小代价，
我们可以发现这是一个下凸函数，而且是一次的，而且相邻两端斜率变化为1.
显然在斜率为0的时候取到最优值，所以对于每个点，实际上我们要做的就是合并它的所有儿子的凸包。
设取到最小值的区间为$[L,R]$，然后我们有下面这个东西。

$$H'(x) =\left\{ \begin{array}{ll}H(x)+w&x\le L\\H(L)+w-(x-L) & L\le x\le L+w\\H(L) & L+w\le x\le R+w\\H(L)+(x-R)-w & R+w\le x \end{array}\right.$$
想了很久想到这的时候我个人发现很不可做，因为插进来一堆点，节点数会很多。
然后sc告诉我splay合并是log^2,，启发式合并也是log^2，但是启发式合并顺序的splay是log的。
就感觉异常难打，sc大佬勇敢地开始打了，而我还在思索。

次日我又在研究这个凸包的性质，思考能不能用简单的数据结构维护凸包。
看到上面的合并凸包实际上只会改变最优值左边的凸包，因此最优值右边的凸包是没用的。
又发现实际上我们并不需要知道凸包的实际形态，只需要记住每个折点的位置，我们就能知道整个函数。
接着问题就在于怎么维护这些折点位置。
我们发现我们合并凸包的时候，我们一定是将两个最右端斜率为0的凸包进行合并，两个凸包的合并，其实等价于将一个凸包向左平移，然后再将斜率为-1,0,1的三段插入凸包。
插入以后会怎么样呢？我们发现凸包最右边的斜率最多为1。那么一个节点的所有子节点的凸包合起来，它的凸包最右边的斜率最多就是(子节点个数)
这样我们就可以简单地用一个堆来维护凸包的折点了！
简单来说，就是将所有凸包合并上去父节点，弹出右边(子节点个数)的节点，然后父节点再添加两个节点。

最后取出所有1节点上所有的点，然后依次减掉就行了。

wxh：
$f(0)=\sum$ 树边权，然后斜率每次-1直到0
那么从右往左减就可以了
$sum-=p[i]$可以理解为把$p[i]$的斜率=-1的贡献算进去，然后前面所有直线斜率-=1

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef long double ldb;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=6e5+10;

int n,m,cnt,tot;
int fa[N],len[N],rt[N],du[N];
LL sum,p[N]; 

LL read()
{
    LL ret=0,f=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=0;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){ret=(ret<<1ll)+(ret<<3ll)+(c^48);c=getchar();}
    return f?ret:-ret;
}

struct Tnode
{
    int l,r,dis;
    LL val;
};
Tnode q[N];

int merge(int x,int y)
{
    if(!x || !y) 
        return x+y;
    if(q[x].val<q[y].val) 
        swap(x,y);
    q[x].r=merge(q[x].r,y);
    if(q[q[x].l].dis<q[q[x].r].dis)
        swap(q[x].l,q[x].r);
    q[x].dis=(q[x].r?q[q[x].r].dis+1:0);
    return x;
} 

int pop(int x)
{
    return merge(q[x].l,q[x].r);
}

int main()
{
    freopen("LGP3642.in","r",stdin);
    freopen("LGP3642.out","w",stdout);

    n=read();m=read();
    for(int i=2;i<=n+m;++i)
    {
        fa[i]=read();len[i]=read();
        sum+=len[i];du[fa[i]]++;
    }

    for(int i=n+m;i>1;--i)
    {
        LL l=0,r=0;
        if(i<=n)
        {
            while(--du[i])
                rt[i]=pop(rt[i]);
            l=q[rt[i]].val;rt[i]=pop(rt[i]); 
            r=q[rt[i]].val;rt[i]=pop(rt[i]);
        }
        q[++tot].val=l+len[i];q[++tot].val=r+len[i];
        rt[i]=merge(rt[i],merge(tot,tot-1));
        rt[fa[i]]=merge(rt[fa[i]],rt[i]);   
    }

    while(du[1]--)
        rt[1]=pop(rt[1]);
    while(rt[1])
        p[++cnt]=q[rt[1]].val,rt[1]=pop(rt[1]);
    for(int i=1;i<=cnt;++i) 
        sum-=p[i];
    printf("%lld\n",sum); 

    return 0;
} 

【总结】
中间思考的时候我也无聊，打了一发splay启发式合并，然后就弃疗了，就想出来了。
这个故事告诉我们数据结构太毒瘤了要多思考。