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# 线性代数 # numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块，可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。
import numpy as np
# 1. 计算逆矩阵 # 创建矩阵 A = np.mat("0 1 2;1 0 3;4 -3 8") print (A) #[[ 0 1 2] # [ 1 0 3] # [ 4 -3 8]]
# 使用inv函数计算逆矩阵 inv = np.linalg.inv(A) print (inv) #[[-4.5 7. -1.5] # [-2. 4. -1. ] # [ 1.5 -2. 0.5]]
# 检查原矩阵和求得的逆矩阵相乘的结果为单位矩阵 print (A * inv) #[[ 1. 0. 0.] # [ 0. 1. 0.] # [ 0. 0. 1.]]
# 注：矩阵必须是方阵且可逆，否则会抛出LinAlgError异常。
# 2. 求解线性方程组 # numpy.linalg中的函数solve可以求解形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 为矩阵，b 为一维或二维的数组，x 是未知变量
import numpy as np
#创建矩阵和数组 B = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9") b = np.array([0,8,-9])
# 调用solve函数求解线性方程 x = np.linalg.solve(B,b) print (x) #[ 29. 16. 3.]
# 使用dot函数检查求得的解是否正确 print (np.dot(B , x)) # [[ 0. 8. -9.]]
# 3. 特征值和特征向量 # 特征值（eigenvalue）即方程 Ax = ax 的根，是一个标量。其中，A 是一个二维矩阵，x 是一个一维向量。特征向量（eigenvector）是关于特征值的向量 # numpy.linalg模块中，eigvals函数可以计算矩阵的特征值，而eig函数可以返回一个包含特征值和对应的特征向量的元组
import numpy as np
# 创建一个矩阵 C = np.mat("3 -2;1 0")
# 调用eigvals函数求解特征值 c0 = np.linalg.eigvals(C) print (c0) # [ 2. 1.]
# 使用eig函数求解特征值和特征向量 (该函数将返回一个元组，按列排放着特征值和对应的特征向量，其中第一列为特征值，第二列为特征向量) c1,c2 = np.linalg.eig(C) print (c1) # [ 2. 1.] print (c2) #[[ 0.89442719 0.70710678] # [ 0.4472136 0.70710678]]
# 使用dot函数验证求得的解是否正确 for i in range(len(c1)): print ("left:",np.dot(C,c2[:,i])) print ("right:",c1[i] * c2[:,i]) #left: [[ 1.78885438] # [ 0.89442719]] #right: [[ 1.78885438] # [ 0.89442719]] #left: [[ 0.70710678] # [ 0.70710678]] #right: [[ 0.70710678] # [ 0.70710678]]
# 4.奇异值分解 # SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是一种因子分解运算，将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积 # numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Sigma和V，其中U和V是正交矩阵，Sigma包含输入矩阵的奇异值。
import numpy as np
# 分解矩阵 D = np.mat("4 11 14;8 7 -2") # 使用svd函数分解矩阵 U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False) print ("U:",U) #U: [[-0.9486833 -0.31622777] # [-0.31622777 0.9486833 ]] print ("Sigma:",Sigma) #Sigma: [ 18.97366596 9.48683298] print ("V",V) #V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667] # [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]] # 结果包含等式中左右两端的两个正交矩阵U和V，以及中间的奇异值矩阵Sigma
# 使用diag函数生成完整的奇异值矩阵。将分解出的3个矩阵相乘 print (U * np.diag(Sigma) * V) #[[ 4. 11. 14.] # [ 8. 7. -2.]]
# 5. 广义逆矩阵 # 使用numpy.linalg模块中的pinv函数进行求解, # 注：inv函数只接受方阵作为输入矩阵，而pinv函数则没有这个限制
import numpy as np
# 创建一个矩阵 E = np.mat("4 11 14;8 7 -2") # 使用pinv函数计算广义逆矩阵 pseudoinv = np.linalg.pinv(E) print (pseudoinv) #[[-0.00555556 0.07222222] # [ 0.02222222 0.04444444] # [ 0.05555556 -0.05555556]]
# 将原矩阵和得到的广义逆矩阵相乘 print (E * pseudoinv) #[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16] # [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]
# 6. 行列式 # numpy.linalg模块中的det函数可以计算矩阵的行列式
import numpy as np
# 计算矩阵的行列式 F = np.mat("3 4;5 6") # 使用det函数计算行列式 print (np.linalg.det(F)) # -2.0