香农（Shannon）理论题

第4题

采用分组长度为128比特，密钥长度为256比特的AES加密算法加密明文，假设密钥均匀随机选取，明文是冗余度为0.75的小写英文字母，试计算至少需要______(向上取整)组密文可以唯一确定加密密钥。

密钥空间：$|K|=2^{256}$（由于密钥生成算法所以给定初始密钥后后续$N$轮密钥也就确定了，因此密钥空间就是初始的$2^{256}$）;
明文空间：$|P|=26^{16}$（明文首先由26个字母组成，表示一个字母需要8比特，其次，由于分组长度为128比特，因此$128÷8=16$个字母为一组，构成明文空间，为$26^{16}$）;
套用公式有：
$$\begin{array}{rl}{n}_0& =\frac{lo{g}_2(|K|)}{R_L\ast lo{g}_2(|P|)}\\ & =\frac{lo{g}_2(2^{256})}{0.75\ast lo{g}_2(26^{16})}\\ & =\frac{256}{0.75\ast 16\ast lo{g}_2(26)}\\ & =4.5386\end{array}$$
因此上取整至少需要5组密文。

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第5题

香农通信模型如图所示：

它表明信道中存在噪声干扰，其中，$H(Y|X)$称作噪声熵，$H(X|Y)$称作信道疑义度。如果我们将明文在密钥的作用下被加密成密文看作是在有噪声的信道中进行了一次传输，那么显然，噪声熵是和密钥相关的，我们将这个噪声熵称为“有效密钥”，“有效密钥”可以表示为：$H(K)-$______(填一个条件熵，明文、密文、密钥分别用$P、C、K$表示)

一个结论：

由于$y=e_K(x)$，所以密钥和明文可唯一确定一个密文，故有：$H(C|PK)=0$，所以：
$$H(KPC)=H(C|PK)+H(PK)=0+H(PK)=H(PK)$$
又因为$K,P$统计独立，所以$H(PK)=H(P)+H(K)$，综上有：
$$H(KPC)=H(K)+H(P)$$
计算：
$$\begin{array}{rl}H(Y|X)& =H(C|P)\\ & =H(PC)-H(P)\\ & =H(KPC)-H(K|PC)-H(P)\\ & =H(K)+H(P)-H(K|PC)-H(P)\\ & =H(K)-H(K|PC)\end{array}$$
因此，“有效密钥”为：$H(K)-H(K|PC)$

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