电路复习——含耦合电感的电路与变压器

含耦合电感的电路与变压器

作者:Elwin
[!] 以下笔记内容可能会出现部分错误的地方，恳请各位师生批评指正，谢谢！

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主要内容

• 互感
• 含有互感电路的计算
• 理想变压器

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互感

1 定义

• 如果两个或两个以上的线圈中每一个线圈所产生的磁通都与另一个线圈相交链，则称这些线圈有磁耦合或者称为具有互感。
• 假设有两个紧密绕在同一铁心的电感线圈$L_1$、$L_2$，它们之间没有直接电的联系，对于两个电感的自感磁通链，有$$\begin{gathered} {\psi }_{11}=L_1{i}_1 \\ {\psi }_{22}=L_2{i}_2 \end{gathered}$$其中$L_1$、$L_2$称为电感系数，也称为自感系数，简称为自感。
• 假设电感$L_2$有部分磁通穿过$L_1$，$L_1$也有部分磁通穿过$L_2$，则有$$\begin{gathered} {\psi }_{12}=M_{12}{i}_2 \\ {\psi }_{21}=M_{21}{i}_1 \end{gathered}$$对于系数$M_{12}$与$M_{21}$，我们定义为线圈$L_1$与$L_2$的互感系数，简称互感，与自感的单位相同。

2 性质

• 互感和自感一样，都是正的常数，而且$M_{12}=M_{21}$，为了简化表达，我们通常用$M$来表示互感系数。
• 代入到电感的伏安特性中，有$$u=\frac{d({\psi }_{jj}+{\psi }_{jk})}{dt}=L\frac{d{i}_j}{dt}+M\frac{d{i}_k}{dt},(j\ne k)$$即电感的电压由自感电压与互感电压叠加。
• 互感的作用有两种可能性：当两个电感的自感方向磁场相互增强时，这时互感为正，称为同向耦合；当两个电感的自感方向磁场相互削弱时，这时互感为负，称为反向耦合。耦合电感的耦合状态与线圈缠绕方式有关。
• 为了方便叙述，在工程上我们将同向耦合下的这一对施感电流的流入端(或流出端)定义为同名端，并用相同的符号标注出来；对应地，反向耦合下这一对施感电流的流入(或流出)端定义为异名端。
• 当有两个以上电感彼此之间存在耦合时，同名端应该一对一地标记且使用不同的符号。且每一个电感的磁通链等于自感磁通链与所有的互感磁通链的代数和。

3 耦合系数

• 实际中的耦合电感磁通链不仅仅与施感电流有关(如位置，结构和铁心)，为了衡量两个线圈之间的耦合程度，引入了耦合系数$k$。
• 耦合系数的定义式为$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}$$$k$的大小反映了两耦合线圈之间的耦合紧密程度。
• 耦合系数$k$的取值范围为$[0,1]$，当$k\approx 1$时称为全耦合，此时两个线圈紧密并平行地绕在同一个铁心上；当$k\approx 0$时称为无耦合，对应的是两个线圈垂直放置，或者相距较远。

4 相量模型

• 对于互感的相量模型，有$$\dot{U}=\dot{I_1}\omega L+\dot{I_2}\omega M$$
• 可以视为在原本的电路中加入了一个新的电感元件，且该电感电压受$\dot{I_2}$的影响。

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含有互感电路的计算

1 耦合电感的串联

• 根据耦合电感的同相耦合和反相耦合，电感的串联也有两种方式：正串和反串。

1.1 正向串联

• 当电流$i$从两个线圈的同名端流入，产生的互感电压与自感电压同方向的串联接法称为正向串联，简称正串或顺串。
  
• 对于正向串联，对于电路图(a)，假设有两个电感$L_1$、$L_2$,对电路进行分析有$$u_1=L_1\frac{di}{dt}+M\frac{di}{dt}=(L_1+M)\frac{di}{dt}$$$$u_2=L_2\frac{di}{dt}+M\frac{di}{dt}=(L_2+M)\frac{di}{dt}$$$$u=u_1+u_2=(L_1+L_2+2M)\frac{di}{dt}$$
• 对比于电感的伏安特性$$u=L\frac{di}{dt}$$能够得到$$L_{eq}=L_1+L_2+2M\text{\hspace{1em}(2-1-1)}$$即耦合电感的正向串联可以等效于一个电感为$(L_1+L_2+2M)$的电感。
• 该方法可以拓展到相量电路模型中，即正串等效阻抗为$$Z_{eq}=j\omega (L_1+L_2+2M)$$

1.2 反向串联

• 当电流$i$从两个线圈的异名端流入，产生的互感电压与自感电压反方向的串联接法称为反向串联，简称反串或反接。
• 可以使用等效的思想来得到反向串联的等效电感：假设有互感系数为$-M$的耦合电感正串，则有等效电感$$L_{eq}=L_1+L_2+2(-M)=L_1+L_2-2M$$这就是反向串联的等效电感。
• 同理也可以拓展到相量电路模型之中，即反串等效阻抗为$$Z_{eq}=j\omega (L_1+L_2-2M)$$

2 耦合电感的并联

2.1 同侧并联

• 将具磁耦合关系的互感线圈的同名端连接在同一个结点上，称为同侧并联电路。
  
• 对同侧并联电路(a)进行分析，考虑到电感伏安特性表示电流时比较麻烦，因此拓展到正弦交流稳态电路中，假设有两个电感$L_1$、$L_2$，有$$\dot{U}=j\omega L_1\dot{I_1}+j\omega M\dot{I_2}$$$$\dot{U}=j\omega L_2\dot{I_2}+j\omega M\dot{I_1}$$$$\dot{I}=\dot{I_1}+\dot{I_2}$$联立后得到$$\dot{U}=j\omega M\dot{I}+j\omega (L_1-M)\dot{I_1}$$$$\dot{U}=j\omega M\dot{I}+j\omega (L_2-M)\dot{I_2}$$
• 对上式进行分析，即可以将$M$看作是电流$I_1$、$I_2$共同流过的公共支路的电感，并将$L_1$和$L_2$用$(L_1-M)$和$(L_2-M)$代替。

2.2 异侧并联

• 将具有磁耦合关系的互感线圈的异名端连接在同一个结点上，称为异侧并联电路。
• 使用与反向串联类似的方法进行分析，可以得到异侧并联的等效电路为：将$-M$看作是电流$I_1$、$I_2$共同流过的公共支路的电感，并将$L_1$和$L_2$用$(L_1+M)$和$(L_2+M)$代替。

3 耦合电感的单端相连

• 具有磁耦合关系的互感线圈的一端连接在一起，作为公共端，另一端与其他部分电路相接，构成磁耦合电感的单端相连，也称为T形连接。

3.1 同侧单端相连

• 将具有磁耦合关系的互感线圈的同名端连接在同一个结点上，称为耦合电感的同侧单端相连。
  
• 对电路进行分析，有$$\dot{U_1}=j\omega L_1\dot{I_1}+j\omega M\dot{I_2}$$$$\dot{U_2}=j\omega L_2\dot{I_2}+j\omega M\dot{I_1}$$$$\dot{I_3}=\dot{I_1}+\dot{I_2}$$联立，有$$\dot{U_1}=j\omega L_1\dot{I_1}+j\omega M\dot{I_3-I_1}=j\omega (L_1-M)\dot{I_1}+j\omega M\dot{I_3}$$$$\dot{U_2}=j\omega L_2\dot{I_2}+j\omega M\dot{I_3-I_2}=j\omega (L_2-M)\dot{I_2}+j\omega M\dot{I_3}$$
• 由上式可得，可以将$M$看作是电流$\dot{I_1}$和$\dot{I_2}$共同流过的公共支路电感，并将$L_1$和$L_2$用$(L_1-M)$和$(L_2-M)$代替。

3.2 异侧单端相连

• 将具有磁耦合关系的互感线圈的异名端连接在同一个结点上，称为耦合电感的异侧单端相连。
  
• 由前面类似的方式可得可以将$-M$看作是电流$\dot{I_1}$和$\dot{I_2}$共同流过的公共支路电感，并将$L_1$和$L_2$用$(L_1+M)$和$(L_2+M)$代替。

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理想变压器

1 变压器

• 变压器是一种利用电磁感应原理实现电能和信号的传输的二端口元件。
• 变压器由绕组和心子组成，绕组绕在心子上，分为一次绕组(输入绕组)和二次绕组(输出绕组)，一次绕组接交流电源，二次绕组接负载。当心子为非铁磁体时的变压器，称为空心变压器。

2 理想变压器

2.1 介绍

• 当变压器满足以下三个理想条件即为理想变压器：
  1. 变压器导线电阻的铜耗及铁心的铁耗远小于变压器所传输的功率，即变压器本身无损耗；
  2. 铁心的磁性材料具有高磁导率，漏磁通可忽略不计，线圈间视为全耦合，即耦合系数$k=1$；
  3. 变压器的匝数足够多，自感系数与互感系数可视作无穷大，但$\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}=\frac{N_1}{N_2}=n$保持不变。

2.2 性质

• 理想变压器一次和二次电压关系和电流关系完全受匝数比$n$的约束，$n$是理想变压器的唯一参数，与频率无关。
• 理想变压器的作用是按照匝数比$n$来变换电压、电流混合阻抗。
• 对于理想变压器，有

  耦合状态	电压关系	电流关系	阻抗关系
  同相耦合	$u_1=n{u}_2$	$i_1=-\frac{1}{n}{i}_2$	$Z_1=n^2{Z}_2$
  反相耦合	$u_1=-n{u}_2$	$i_1=\frac{1}{n}{i}_2$	$Z_1=n^2{Z}_2$

• 由上表可知，理想变压器中所有参数都不是连续的，因此理想变压器是一个静态线性元件。
  1=-nu_2$|$i_1=\frac{1}{n}i_2$|$Z_1=n^2Z_2$|
• 由上表可知，理想变压器中所有参数都不是连续的，因此理想变压器是一个静态线性元件。
• 对理想变压器功率进行分析$$p=u_1{i}_1+u_2{i}_2=u_1{i}_1-n{u}_1\frac{1}{n}{i}_1=0$$即理想变压器既不储能也不耗能，在电路中只起到传递信号和能量的作用。