初赛一些知识

前缀，中缀，后缀（逆波兰）表达式

中缀表达式

中缀表达式是一个通用的算术或逻辑公式表示方法。其实中缀表达式跟我们平常见到的数学式子是一样的。

例如：1*（2+3）

---

前缀表达式
前缀表达式又称波兰表达式，，前缀表达式的运算符位于操作数之前

例如：- × + 3 4 5 6

前缀表达式求值
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果

例如：- × + 3 4 5 6

1. 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
2. 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
3. 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
4. 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果

中缀表达式转前缀表达式

方法:
我们设两个栈表，s1 s2.
从右到左遍历中缀表达式
如果遇到数字，将其压入s1中
如果遇到运算符时（s2）：

1. 若栈为空或栈顶的符号为’)’，直接压入s2中
2. 若栈顶的运算符的优先级小于或等于当前符号，直接压入s2中
3. 否则将s2中的栈顶运算符弹出，压入s1，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较

遇到括号时

1. 如果是右括号“)”，则直接压入s1
2. 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃

重复步骤2至5，直到表达式的最左边
将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式

---

后缀表达式
后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后

例如:3 4 + 5 × 6 -

后缀表达式求值
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果

与前缀同理，这里就不做例子了

中缀表达式转后缀表达式

方法:
我们设两个栈表，s1 s2.
从左到右遍历中缀表达式
如果遇到数字，将其压入s1中
如果遇到运算符时（s2）：

1. 若栈为空或栈顶的符号为’(’，直接压入s2中
2. 若栈顶的运算符的优先级小于或等于当前符号，直接压入s2中
3. 否则将s2中的栈顶运算符弹出，压入s1，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较

遇到括号时

1. 如果是左括号“(”，则直接压入s1
2. 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃

重复步骤2至5，直到表达式的最左边
将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为后缀表达式时不用逆序）

NOIP竞赛的一些知识

竞赛推荐的竞赛语言有：
C++及C
free Pascal
Lazarus
Pascal
gcc/g++
Dev C++

不推荐的:
TP7(turbo pascal 7)
TC(turbo C)
Visual C++

编程规则：

1. 对于每一道试题，选手只应提交一个源程序文件。源程序文件名由试题名称缩写加后缀构成，源程序文件名及后缀一律使用小写。PASCAL、C及C++程序的后缀分别为.pas，.c，或.cpp。当参赛选手对一道试题提交多份使用不同后缀的源程序文件时，测试系统按照.c, .cpp, .pas的顺序选取第一份存在的文件进行编译和评测，并忽略其他文件。
2. 使用C/C++语言者不得使用自己的头文件，使用Pascal语言者不得使用自己的库单元。除另有规定外，每道题参赛程序源文件不得大于100KB，如选手在规定目录下另建其它子目录，这些子目录中的文件均会被评测系统忽略。
3. 选手程序应正常结束并返回Linux系统，主函数的返回值必须为0。
4. 选手程序中只允许通过对指定文件的读写、以及对指定库函数的调用等题目中明确规定的方式与外部环境通信。在程序中严禁下列操作：

• 试图访问网络
• 使用fork、exec、system或其它线程/进程生成函数
• 打开或创建题目规定的输入/输出文件之外的其它文件和目录
• 运行其它程序
• 改变文件系统的访问权限
• 读写文件系统的管理信息
• 使用除读写规定的输入/输出文件之外的其它系统调用
• 捕获和处理鼠标和键盘的输入消息
• 读写计算机的输入/输出端口

5. 除题目另有规定外，选手程序中所使用的静态和动态内存空间总和不得超过128MB。

对C程序的限制
程序禁止使用内嵌汇编和以下划线开头的库函数或宏（自己定义的除外）。
在程序中只能使用下述头文件以及被它们所间接包含：assert.h, ctype.h, errno.h，float.h，limits.h，math.h，stdio.h，stdlib.h，string.h，time.h。
64位整数只能使用long long类型及unsigned long long类型。

对C++程序的限制
程序禁止使用内嵌汇编和以下划线开头的库函数或宏（自己定义的除外）。
64位整数只能使用long long类型及unsigned long long类型。
可以使用STL中的模板。
对Pascal程序的限制
程序禁止使用内嵌汇编，并禁止使用任何编译开关。
在程序中禁止使用除system库（自动加载）和math库（须用uses math子句）之外的其他单元。

凡满足上述规定，并且能在题目规定的命令行下编译通过的程序均为合法的源程序。但即使源程序合法，只要程序执行时有违规行为时，仍被判定为违规。

各种排序算法的总结

比较排序和非比较排序
常见的排序算法都是比较排序，非比较排序包括计数排序、桶排序和基数排序，非比较排序对数据有要求，因为数据本身包含了定位特征，所有才能不通过比较来确定元素的位置。
比较排序的时间复杂度通常为O($n^2$)或者O($n{\log }_n$)，比较排序的时间复杂度下界就是O($n/lo{g}_n$)，而非比较排序的时间复杂度可以达到O($n$)，但是都需要额外的空间开销。
比较排序时间复杂度为O($n{\log }_n$)的证明：
a1,a2,a3……an序列的所有排序有$n!$种，所以满足要求的排序a1’,a2’,a3’……an’（其中a1’<=a2’<=a3’……<=an’）的概率为$1/n!$。基于输入元素的比较排序，每一次比较的返回不是0就是1，这恰好可以作为决策树的一个决策将一个事件分成两个分支。比如冒泡排序时通过比较a1和a2两个数的大小可以把序列分成a1,a2……an与a2,a1……an（气泡a2上升一个身位）两种不同的结果，因此比较排序也可以构造决策树。根节点代表原始序列a1,a2,a3……an，所有叶子节点都是这个序列的重排（共有n!个，其中有一个就是我们排序的结果a1’,a2’,a3’……an’）。如果每次比较的结果都是等概率的话（恰好划分为概率空间相等的两个事件），那么二叉树就是高度平衡的，深度至少是${\log }_{n!}$。
又因为 1. n! < nn ,两边取对数就得到log(n!)<nlog(n)，所以${\log }_{n!}$ = O($n{\log }_n$).
2. n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…1 > (n/2)^(n/2) 两边取对数得到 ${\log }_{n!}$ > (n/2)$\log_{n/2}$ = $\Omega$($n{\log }_n$)，所以 ${\log }_{n!}$ = $\Omega$($n{\log }_n$)。
因此${\log }_{n!}$的增长速度与 $n{\log }_n$ 相同,即 log(n!)=$\theta$(nlogn)，这就是通用排序算法的最低时间复杂度O($n{\log }_n$)的依据。

排序的稳定性和复杂度

  不稳定：

  选择排序（selection sort）— O(n^2)

  快速排序（quicksort）— O(nlogn) 平均时间, O(n^2) 最坏情况(要找的数在最左最右端); 
  对于大的、乱序串列一般认为是最快的已知排序

  堆排序 （heapsort）— O(nlogn)

  希尔排序 （shell sort）— O(nlogn)

  基数排序（radix sort）— O(n*k); 需要 O(n) 额外存储空间 （K为特征个数）



  稳定：

  插入排序（insertion sort）— O(n2)

  冒泡排序（bubble sort） — O(n2)

  归并排序 （merge sort）— O(n log n); 需要 O(n) 额外存储空间

  二叉树排序（Binary tree sort） — O(nlogn); 需要 O(n) 额外存储空间

  计数排序  (counting sort) — O(n+k); 需要 O(n+k) 额外存储空间，k为序列中Max-Min+1

  桶排序 （bucket sort）— O(n); 需要 O(k) 额外存储空间

怎么将一棵树转换为二叉树

解答：

1. 将 当前点的孩子 放在左子树；
2. 将 当前点的兄弟 放在右子树。

所以我们就可以得到江一棵树转换为二叉树后，根节点没有右子树
毕竟根节点没有兄弟！

拿一个例题来举例：

答案为：

就是这么简单

更新中…
LTH的初赛总结
WHDTXDY的初赛总结