CSP-S冲刺笔记(Day -24)

扩欧详解

假设我们有一个方程: $ax+by=c$。这里给定了$a,b,c$，要让我们求$(x,y)$的一对整数解。保证有解。

首先，为了简化问题，假设$ax+by=1$。于是，我们考虑一种神奇的算法——扩展欧几里得算法。

我们每次递归时，对这个式子进行如下变换：

$ax+by=1$
$bx+(amodb)y=1$
……
$1x+0y=1$(此时容易解得$x=1,y=0$)

现在，我们考虑如何递归上传。即，我们要把$bx+(amodb)y=1$变成与$ax+by=1$相同的模样。

如何变化呢？这么搞：

$bx+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b)y=1$
$bx+ay-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor by=1$
$ay+b(x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y)$=1

所以，我们每次从解得的$(x,y)$，同时变成$y,x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y$即可。

注意，这里的$x$是上一步的$x$，所以我们要在把$x$变成$y$之前，先存储下$x$的值。

时间复杂度$O(lo{g}_{1.618}max(a,b))$。

注意，这里的底数并不是$1.618$，但是这个底数与$1.618$十分接近；之所以复杂度是这个，是因为$a,b$为斐波那契数列中相邻两项的时候是最差情况。

容易扩展到$c\ne 1$的情况，与$gcd(a,b)|c$的情况。可以发现，这个东西也可以用在逆元，甚至在复杂度允许的情况下可以代替中国剩余定理。注意如果不满足$gcd(a,b)|c$，这个不等式无解。

线性求逆元详解

模板

首先，请读者注意，这里的$=$请都看成表示模的"三横杠"。

我们考虑如何线性求$i$在膜$p$意义下的逆元。

首先，假设$x$为$p/i$的商，$y$为$p/i$的余数，显然有

$xi+y=0(modp)$

等式两边同时除以$i,y$，那么

$x{y}^{-1}+i^{-1}=0(modp)$

$i^{-1}=-x{y}^{-1}(modp)$

$i^{-1}=-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor (pmodi{)}^{-1}$

由于$pmodi$的逆元可以$O(1)$调用（已求过），于是，我们学会了线性求逆元。

这只是一个卡常技巧，但是并不超提高组的大纲。虽然从来没有考过

建议大家把这个结论背下来，考场上不用推式子了，直接用。

再书写得明确一点，假设$in{v}_i$表示$i$的逆元，那么

$$in{v}_i=(p-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor )in{v}_{pmodi}$$

上代码:

a[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)  a[i]=((p-p/i)*a[p%i])%p;

刷题笔记

ACL B

枚举$k$与$k+1$分别能被哪两个积为$n$的数整除，然后跑几遍扩欧并取最小值即可。

时间复杂度$O(f(n)logn)$，$f(n)$表示$n$的约数个数。

总结: 慎用变量名，$savex$不能用！$y1$不能用！！！

（惨