NOI Online #1 提高组 T3 最小环

原题链接

简洁题意：

一个环上有数字，给定一个距离$k$，构造一个序列使${\sum }_{i=1}^n(a_i\times a_{i+k})$最大。这里指的是环上加减。

分析：

这个题很容易想到一个策略，把两个大的相乘很明显更划算。于是能想到由$1$开始$bfs$，扩展出来左右两边的数，从大到小放数字。但这样很容易出现一个问题：有些永远不可能搜到！比如题目中的样例，$k=3$的情况就有一半会搜不到。有一种解决方法：标记每一位，像$tarjan$一样，每一个点看看有没有标记，没有标记就搜。这种方法时间复杂度是$\Theta (n)$的，可行，但是我没有试过。这是考试的时候想的，但是时间不够，就没写了。下面说一个代码简洁的方法：
针对上面的问题不难发现，这样分出来每一次搜索可以划分为一组。那么一组有多少个呢？就是$n÷gcd(n,k)$个。这个我不会证明，纯粹是一个一个试出来规律的。要是有巨佬会证明的在评论区说一下，我会加上并特别鸣谢的。于是，分成了很多组就好办了。每一组互不干扰，再根据前面$bfs$的方法，发现一组中分到的数字是连续的。不难发现，在一组中除了最大和次大、最小和次小相乘，这一组里面都是$a_{i+2}\times a_i$的。注意，为了方便放大的数，这里的$a$是已经从大到小排序的。于是，我们也可以每次$i$加上一组的个数，这样就相当于把$a$的一部分分给前一组了。时间复杂度也是$\Theta (n)$的。
针对上面两种方法，时间复杂度仍然不够用，因为会有很多个$k$要求。但是发现，$k$最大小于$n÷2$，也就是$10^5$种$k$要求，但是却会有$10^5\times 2$个$k$。如果每个分别求，会$TLE$几个点。但是，求的个数比种数多很多，肯定有很多重复。所以可以用一个$f$数组存每个$k$的答案，遇到重复的直接输出。但是这样时间仍然很紧，不难发现只要分的组是一样的答案就是一样的。我们又能少输出很多个$k$了，注意这样优化第一个方法就也要求一个一组的个数。
总时间复杂度$\Theta (kn)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int NN=2e5+4;
long long a[NN],f[NN];
int gcd(int a,int b)
{
    
    
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    
    
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	sort(a+1,a+1+n);
	while(m--)
	{
    
    
		int k;
		scanf("%d",&k);
		long long ans=0;
		if(k==0||n==1)
		{
    
    
			if(f[0])
			{
    
    
				printf("%lld\n",f[0]);
				continue;
			}
			for(int i=1;i<=n;i++)
				ans+=a[i]*a[i];
			f[0]=ans;
			printf("%lld\n",ans);
			continue;
		}
		int team=n/gcd(n,k);
		if(f[team])
		{
    
    
			printf("%lld\n",f[team]);
			continue;
		}
		for(int i=1;i<=n;i+=team)
		{
    
    
			for(int j=0;j<team-2;j++)
				ans+=a[i+j]*a[i+j+2];
			ans+=(a[i]*a[i+1]+a[i+team-1]*a[i+team-2]);
		}
		f[team]=ans;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}