Codeforces Round #673 (Div. 2)——D. Make Them Equal
2020/9/28
事实证明这题是真的简单，相较于C题复杂的处理我倒觉得这题更简单吧。纯思维题，但是我还是没写出来
题目：
You are given an array a consisting of n positive integers, numbered from 1 to n. You can perform the following operation no more than 3n times:
choose three integers i, j and x (1≤i,j≤n; 0≤x≤109);
assign ai:=ai−x⋅i, aj:=aj+x⋅i.
After each operation, all elements of the array should be non-negative.
Can you find a sequence of no more than 3n operations after which all elements of the array are equal?
题意：
给定一个n个正整数的数组，你每次可以进行一个操作：
选三个数i,j,x,然后ai=ai+i*x,aj=aj+j*x,分析一下就是选一个位置i使得它减少i倍的一个数，并把这个数加到任意一个位置。
要求执行3*n次操作之内能不能使得n个数相同？
分析：
先分析算式，可以知道，如果i位置的数ai是i的倍数，则该位置的数就可以被i个i个全部拿走，那很明显，对于第1个位置的数，它是绝对优的，因为它可以按1的任意倍数（即任意数）分配。
对于不可能的情况：当且仅当n个数的和不是n的倍数的时候无解，该情况无解显而易见，但是为什么只有该情况是无解的呢——这里考虑一个构造过程：
rep i,2,n
对于ai，它是否是i的倍数，
如果是，则直接把ai按照i=i,j=1,x=ai/i，把ai的数全部移到a1.
如果不是，则直接把a1按照i=1,j=i,x=i-ai%i，把a1的数移到ai，使得ai的数是i的倍数，然后再同理把ai的数全部移到a1.
----这里为什么可以确定可以移动呢，因为一开始a1>=1，而2-a2<=1(因为只考虑a2不是2的倍数），然后a1+=a2的值，继续推发现无论数组a的值是多少，都可以满足按照i从2到n的顺序，对于i必有a1>=i-1,且i-ai<=i-1即i-ai<=a1，故每一轮a1都有足够的数分配给ai，使得ai是i的倍数。
到这里，我们可以发现无论什么情况（除去开始讲的-1情况）都能在<=2*(n-1)次操作下把a2到an的值全部转移到a1(即a2到an都变成0)。之后就只需要花n-1次操作把a1的值按平均数一个个分配给a2到an即可（因为a1的位置是可以分配任意数的）
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define G 6.67430*1e-11
#define rd read()
#define pi 3.1415926535
using namespace std;
const ll mod = 998244353;
inline ll read() {
ll x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch>'9') {
if (ch == '-')
f = -1;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return x * f;
}
ll fpow(ll a, ll b)
{
ll ans = 1;
while (b)
{
if (b & 1)ans = ans * a % mod;
b >>= 1;
a = a * a % mod;
}
return ans;
}
ll gcd(ll a, ll b) {
return !b ? a : gcd(b, a % b); }
const int N = 1000010;
bool isprime(int n)
{
for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)if (n % i == 0)return false;
return true;
}ll jc[300005];
ll x[10005];
struct s {
ll a, b, c; };
vector<s> v;
priority_queue<pll> p;
int main()
{
int t = rd;
while (t--)
{
v.clear();
int n = rd;
ll sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
x[i] = rd;
sum += x[i];
}
if (sum % n == 0)
{
sum /= n;
}
else
{
cout << -1 << endl;
continue;
}
int f = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (x[i] % i)
{
struct s a = {
1, i, i - x[i] % i };
v.push_back(a);
x[i] += i - x[i] % i;
a = {
i, 1, x[i] / i };
v.push_back(a);
}
else
{
s a = {
i, 1, x[i] / i };
v.push_back(a);
}
}
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
struct s a = {
1, i, sum};
v.push_back(a);
}
cout << v.size() << endl;
for (auto p : v)
{
cout << p.a << ' ' << p.b << ' ' << p.c << endl;
}
}
return 0;
}
//cout << (97 * 4 + 95 + 95 * 3 + 88 + 88 * 4 + 87 * 3.5 + 80 * 0.25)/( 4 + 1 + 3 + 1 + 4 + 3.5 + 0.25 );