1 ≤ a , b ≤ 1 e 15 , 0 ≤ a − b ≤ 1 e 4 , 1 ≤ k ≤ 9 1\le a,b\le 1e15,0 \le a-b\le1e4,1\le k \le 9 1≤a,b≤1e15,0≤a−b≤1e4,1≤k≤9
Solution
首先我们先考虑 a = b a=b a=b的情况,不难发现对于一种小A赢的方案数,取反就对应小A输的方案数,所以只要在所有方案中减去平的再除以二即可。
考虑扩展到 a > b a>b a>b的情况,那么小A输或平的情况取反之后对应小A赢,还有一些情况小A取不取反都赢,算出后者,即可算出答案。即 W a > W b , A − W a > B − W b W_a>W_b,A-W_a>B-W_b Wa>Wb,A−Wa>B−Wb,则 A − B > W a − W b A-B>W_a-W_b A−B>Wa−Wb。
这个部分的方案数即为 ∑ i = 1 A − B − 1 ∑ j = 1 b C a i + j C b j = ∑ i = 1 A − B − 1 ∑ j = 1 b C a i + j C b b − j = ∑ i = 1 A − B − 1 C a + b i + b \sum_{i=1}^{A-B-1}\sum_{j=1}^bC_{a}^{i+j}C_b^j=\sum_{i=1}^{A-B-1}\sum_{j=1}^bC_{a}^{i+j}C_b^{b-j}=\sum_{i=1}^{A-B-1}C_{a+b}^{i+b} ∑i=1A−B−1∑j=1bCai+jCbj=∑i=1A−B−1∑j=1bCai+jCbb−j=∑i=1A−B−1Ca+bi+b。
然后套用扩展lucas即可。
注意除以二在模1e9的情况下不好计算,可以考虑 ∑ i = 1 A − B − 1 C a + b i + b \sum_{i=1}^{A-B-1}C_{a+b}^{i+b} ∑i=1A−B−1Ca+bi+b利用组合数的对称性算一半, C 2 a a = 2 C 2 a − 1 a C_{2a}^a=2C_{2a-1}^a C2aa=2C2a−1a即可。