二分图与最小生成树

最小生成树

最小生成树对应的问题都是无向图

最小生成树算法 :

1. Prim算法
   1. 稠密图 : 朴素版Prim算法 O( n^2 ) [^代码短 一般用于稠密图]
   2. 稀疏图 : 堆优化版Prim算法 O( mlog(n) ) [^不常用]
2. Kruskal算法 O( mlog(m) ) [^一般用于稀疏图]

捋清算法思路 , 弄清楚算法的流程 , 不是死记模版

朴素版Prim算法

集合 s 表示当前已经在连通块中的点

步骤 :

1. 将所有距离初始化为正无穷 . dist[i] --> INF
2. 进行 n 次迭代 , for(int i = 0;i < n;i ++ )
   1. 找到 不在集合 s 中的距离最小的点
   2. 用 t 更新其他点到 集合(与Dijkstra算法的区别处) 的距离
   3. 将 t 加入到集合当中 st[t] = true

模版 :

给定一个n个点m条边的无向图 , 图中可能存在重边和自环 , 边权可能为负数.

求最小生成树的树边权重之和 , 如果最小生成树不存在则输出 impossible.

1 <= n <= 500 , 1 <= m <= 10^5

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输入样例 :

4 5

1 2 1

1 3 2

1 4 3

2 3 2

3 4 4

输出样例 :

6

点到集合的距离 : 点到集合中的点的所有边中最短的那条边

最小生成树中, 没有环 , 因此正边和负边都可以

代码如下 :

// 朴素版 Prim算法 :

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std ;
const int N = 510 , INF = 0x3f3f3f3f ;
int dist[N] ; bool st[N] ; int n , m ; int g[N][N] ; // 稠密图 , 邻接矩阵存储

int prim()
{
    
    
    memset(dist,0x3f,sizeof dist) ; // 初始状态 , 所有点到集合的距离均为无穷大

    int res = 0 ; // res 记录最小生成树的各边的权值的和
    // n 个点 , 迭代 n 次
    for(int i = 0;i < n;i ++ )
    {
    
    
        int t = -1 ;
        // 从集合外的点集中找到距离当前集合距离最短的点 , 第一次时随机选择
        for(int j = 1;j <= n;j ++ )
        {
    
    
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
            {
    
    
                t = j ;
            }
        }

        if(i && dist[t] == INF) return -1 ; // 如果当前不是第一个点且其到集合的距离为INF,则该图不连通
        if(i) res += dist[t] ;
        // 注意 : 这里可能存在自环的情况 , 所以应该先累加边的权值 , 再进行更新
        for(int j = 1;j <= n;j ++ ) dist[j] = min(dist[j] , g[t][j]) ; // 更新集合外的点到集合的距离

        st[t] = true ; // 将点 t 加入到集合当中
    }
    return res ;
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d",&n,&m) ;

    memset(g,0x3f,sizeof g) ;

    while (m -- )
    {
    
    
        int a , b , c ; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c) ;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b] , c) ; // 存在重边 , 取最小值
    }

    int t = prim() ;

    if(t == -1) puts("impossible") ;
    else printf("%d \n",t) ;

    return 0 ;
} 

Kruskal算法

步骤 :

1. 将所有边按权重从小到大排序( sort ) 时间复杂度 : O( mlogm ) e
2. 枚举每条边 a --> b , 权重为 c .
   1. 如果 a , b 不连通 , 将这条边加入到集合中 ( 并查集的简单应用 )

模版 :

给定一个n个点m条边的无向图 , 图中可能存在重边和自环 , 边权可能为负数.

求最小生成树的树边权重之和 , 如果最小生成树不存在则输出 impossible.

不需存图 , 直接开一个结构体存边即可

输入样例 :

4 5

1 2 1

1 3 2

1 4 3

2 3 2

3 4 4

输出样例 :

6

代码如下 :

// Kruskal 算法 :

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std ;
const int N = 100010 ;
int n , m ; int p[N] ;

struct Edge{
    
    
    int a , b , w ;
    bool operator< (const Edge & W) const // 重载小于号 , 使排序的时候按w的值排序
    {
    
    
        return w < W.w ;
    }
}edges[N];

int find(int x)
{
    
    
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]) ;
    return p[x] ;
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d",&n,&m) ;

    for(int i = 0;i < m;i ++ )
    {
    
    
        int a , b , w ; scanf("%d%d%d",&a,&b,&w) ;
        edges[i] = {
    
    a , b , w} ;
    }

    sort(edges , edges + m) ;

    for(int i = 1;i <= n;i ++ ) p[i] = i ; // 初始化并查集数组

    int res = 0 , cnt = 0 ;
    for(int i = 0;i < m;i ++ )
    {
    
    
        int a = edges[i].a , b = edges[i].b , w = edges[i].w ;
        a = find(a) , b = find(b) ;

        if(a != b)
        {
    
    
            p[a] = b ;
            res += w ;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if( cnt != n - 1 ) puts("impossible") ;
    else printf("%d \n",res) ;

    return 0 ;
}

---

二分图

简介 : 二分图，又称二部图，英文名叫 Bipartite graph。

节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。

换言之，存在一种方案，将节点划分成满足以上性质的两个集合。

*性质 : 二分图不存在长度为奇数的环 充分必要

因为每一条边都是从一个集合走到另一个集合，只有走偶数次才可能回到同一个集合。

染色法

时间复杂度 : O ( n + m ) 线性 . 类似于dfs

如果在染色过程中出现矛盾 --> 存在奇数环 , 不是二分图

反之 , 则是二分图

模版 : 染色法判定二分图 :

给定一个n个点m条边的无向图 ,图中可能存在重边或自环,判断这个图是否是二分图

输入样例 :

4 4

1 3

1 4

2 3

2 4

输出样例 :

Yes

代码如下 :

// 二分图的染色法 : 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std ; 
const int N = 100010 , M = N << 1 ; 
int h[N] , e[M] , ne[M] , idx ; int color[N] ; 
int n , m ; 

void add(int a,int b)
{
    
    
    e[idx] = b , ne[idx] = h[a] , h[a] = idx ++ ; 
}

bool dfs(int u,int c)
{
    
    
    color[u] = c ; // 给 u 点染色
    for(int i = h[u] ; i != -1;i = ne[i])
    {
    
    
        int j = e[i] ; 
        if (!color[j])
        {
    
    
            if(!dfs(j,3 - c)) // 因为 j 是u 的相邻点 , 所以给其染色时要与u不一样 , 3-u即可
            {
    
    
                return false ; 
            }
        }
        else if (color[j] == c) return false ; // 如果 j 的颜色与 u相同,不行,因为它们是相邻点
    }
    return true ; 
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d",&n,&m) ; 
    
    memset(h,-1,sizeof h) ; 
    
    while (m -- )
    {
    
    
        int a , b ; scanf("%d%d",&a,&b) ; 
        add(a,b) ; add(b,a) ; 
    }
    
    bool flag = true ; 
    for(int i = 1;i <= n;i ++ )
    {
    
    
        if(!color[i])
        {
    
    
            if(!dfs(i,1))
            {
    
    
                flag = false ; break ; 
            }
        }
    }
    
    if(!flag) puts("No") ; 
    else puts("Yes") ; 
    
    return 0 ; 
}

匈牙利算法

时间复杂度 : O ( mn ) , 实际运行时间一般远小于 O( mn )

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。

匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。

匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点.

匈牙利算法 : 求解一个图中的最大匹配

匈牙利算法的要点如下

1. 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
   1. 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
   2. 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
2. 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。

性能比较

两个版本的时间复杂度均为O(V⋅E)O(V⋅E)。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。

补充定义和定理：

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目

最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择

最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连

最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）

定理2：最大匹配数 = 最大独立数

定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

​ 选自 : https://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html

模版 :

给定一个二分图 , 其中左半部包含 n1 个点 ( 编号1~n1 ) , 右半部分包含 n2 个点 (编号 1 ~ n2) , 二分图共包含 m 条边. 求出二分图的最大匹配数.

输入样例 :

2 2 4

1 1

1 2

2 1

2 2

输出样例 :

2

代码如下 :

// Huagarian 匈牙利算法 :

// hungarian(匈牙利算法) :

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std ;
const int N = 510 , M = 100010 ;
int n1 , n2 , m ;
int h[N] , e[M] , ne[M] , idx ;
int match[N] ; // 右边的点所对应的左边的点
bool st[N] ; // 判重 , 保证每个点只匹配一个点 , 否则会无限循环

void add(int a,int b)
{
    
    
    e[idx] = b , ne[idx] = h[a] , h[a] = idx ++ ;
}

// 写迭代递归类算法时 , 相信其能完成我们给定的功能 , 不用去绕进去想
bool find(int x)
{
    
    
    for(int i = h[x];i != -1;i = ne[i])
    {
    
    
        int j = e[i] ;
        if(!st[j])
        {
    
    
            st[j] = true ; 
            if(match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
    
    
                match[j] = x ;
                return true ;
            }
        }
    }
    return false ;
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m) ;
    
    memset(h,-1,sizeof h) ;

    while (m -- )
    {
    
    
        int a , b ; scanf("%d%d",&a,&b) ; add(a , b) ;
    }


    int res = 0 ;
    for(int i = 1;i <= n1;i ++ )
    {
    
    
        memset(st,false,sizeof st) ; // 清空 , 表示右边的点都还没考虑过 
        if(find(i)) res ++ ;
    }

    printf("%d\n",res) ;

    return 0 ;
}