文章目录
一. 机器数和真值
在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.
1.机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。
机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号,
正数为0, 负数为1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2.真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将 带符号位的机器数对应的真正数值 称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
真值和机器数是相对应的关系：
机器数是真值在计算机中的二进制表示形式
真值是带符号位的机器数对应的真正数值
二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法
Java中二进制数的编码表示：正数用原码表示，负数用补码表示，补码的最高位是符号位，最高位为“0”表示正数，最高位为“1”表示负数。
正数补码为其原码；
负数补码为其绝对值各位取反加1；
在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.
对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储.
原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
1.原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值.
比如如果是8位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
2.反码
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
3.补码
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码再计算其数值.
注：1.原码转换为补码：符号位不变，数值位按位取反,末位再加1
2.补码转换为原码：符号位不变
数值位按位取反,末位再加1 =末位减一，数值位按位取反
3.补码的补码等于原码
三. 为何要使用原码, 反码和补码
对于正数三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
为了 解决0的符号（反码的两个编码都表示0）的问题，出现了补码:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算 的结果中, [1000 0000]补 就是-128 . 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示. (对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
使用补码, 不仅仅修复了0的符号（反码的两个编码都表示0）的问题, 而且还能够多表示一个最低数-128 .
这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 占4个字节，可以表示范围是:-2147483648~2147483647，因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
四.为什么1个字节是8个bit
字节
字节是是计算机信息计量单位 ，一个字节包含8个bit。
但是为什么1个字节是8个bit呢，这还得从ascii码说起。
ascii码
ascii码是计算机一开始使用的编码协议，主要用于记录 需要显示的字符和 “0与1” 之间的对应。比如按下键盘的 a 键，就相当于输入了一串0和1的组合，计算机通过查询ascii表知道要显示 a 。
ascii码（举例）
| 0和1的组合 | 表示字符 |
|---|---|
| 01100001 | a |
| 01100010 | b |
| 01100011 | c |
| 01100100 | d |
| 01100101 | e |
这时我们注意到，每个字母都对应8个 0和1的组合
一开始的时候，需要显示的字符只有26个英文字母、10个数字、计算符号以及各种特殊符号，这样大概100个字符需要显示。那我们需要多少位才能足够对应全部的符号呢？
这样就变成了一道数学题。每1位有两种可能，多少位的可能数会大于100？
使用1bit位
此时，我们拥有1位，要么是0，要么是1，那就只有两种可能
| bit值 | 表示字符 |
|---|---|
| 0 | a |
| 1 | b |
21 个显然不行是不够的
使用2bit位
| bit值 | 表示字符 |
|---|---|
| 00 | a |
| 01 | b |
| 10 | c |
| 11 | d |
能表示的字符达到了22 个，但还是远远不够
继续增加位数
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
2^8 = 256
在当时的环境下，128个应该是够用的，再加上其他不需要显示同样需要对应的东西，使用256个更加保险，也就是8位。
8位在计算机中称为8个bit
bit
bit是计算机存储数据的最小单位，只有0和1两种值。而8个bit组成了信息的最小单位，也就是字节