作者：中南大学可视化实验室 可解释性机器学习项目组 18届 MHX
日期：2020-7-17
标签：正则化 神经网络 激活函数 神经网络 卷积
一、神经网络与卷积神经网络
这里我们构建一个两层神经网络，理论上两层神经网络已经可以拟合任意函数。这个神经网络的结构如下图：
首先去掉图1中一些难懂的东西，如下图：
1.1 输入层
在例子中，输入层是坐标值，例如（1,1），这是一个包含两个元素的数组，也可以看作是一个12的矩阵。输入层的元素维度与输入量的特征息息相关，如果输入的是一张3232像素的灰度图像，那么输入层的维度就是32*32。
1.2 从输入层到隐藏层
连接输入层和隐藏层的是W1和b1。由X计算得到H十分简单，就是矩阵运算(在设定隐藏层为50维（也可以理解成50个神经元）之后，矩阵H的大小为（150）的矩阵)：
H = XW1+b1
1.3从隐藏层到输出层
连接隐藏层和输出层的是W2和b2。同样是通过矩阵运算进行的：
Y = H*W2+b2
1.4分析
通过上述两个线性方程的计算，就能得到最终的输出Y了，但是根据我们之前学过的线性代数可知：一系列线性方程的运算最终都可以用一个线性方程表示。也就是说，上述两个式子联立后可以用一个线性方程表达。对于两次神经网络是这样，就算网络深度加到100层，也依然是这样。这样的话神经网络就失去了意义。
所以这里要对网络注入灵魂：激活层。
二、激活层
简而言之，激活层是为矩阵运算的结果添加非线性的。常用的激活函数有三种，分别是阶跃函数、Sigmoid和ReLU。刚开始我是被这三个的奇奇怪怪的名字吓到了，其实它们的形式都很简单，如下图（sigmoid在负无穷是应趋近于0）：
阶跃函数：当输入小于等于0时，输出0；当输入大于0时，输出1。
Sigmoid：当输入趋近于正无穷/负无穷时，输出无限接近于1/0。
ReLU：当输入小于0时，输出0；当输入大于0时，输出等于输入。
其中，阶跃函数输出值是跳变的，且只有二值，较少使用；Sigmoid函数在当x的绝对值较大时，曲线的斜率变化很小（梯度消失），并且计算较复杂；ReLU是当前较为常用的激活函数。
激活函数具体是怎么计算的呢？
假如经过公式H=XW1+b1计算得到的H值为：(1,-2,3,-4,7…)，那么经过阶跃函数激活层后就会变为(1,0,1,0,1…)，经过ReLU激活层之后会变为(1,0,3,0,7…)。需要注意的是，每个隐藏层计算（矩阵线性运算）之后，都需要加一层激活层，要不然该层线性计算是没有意义的。
此时的神经网络变成了如下图所示的形式：
神经网络是分为“训练”和“使用”两个步骤的。如果是在“使用”的步骤，图4就已经完成整个过程了，在求得的Y（大小为14）矩阵中，数值最大的就代表着当前分类。
但是对于用于“训练”的网络，上图还远远不够。起码当前的输出Y，还不够“漂亮”。
三、输出的归一化
在上图中，输出Y的值可能会是(3,1,0.1,0.5)这样的矩阵，诚然我们可以找到里边的最大值“3”，从而找到对应的分类为I，但是这并不直观。我们想让最终的输出为概率，也就是说可以生成像(90%,5%,2%,3%)这样的结果，这样做不仅可以找到最大概率的分类，而且可以知道各个分类计算的概率值。
计算公式如下：
简单来说分三步进行：（1）以e为底对所有元素求指数幂；（2）将所有指数幂求和；（3）分别将这些指数幂与该和做商。
这样求出的结果中，所有元素的和一定为1，而每个元素可以代表概率值。
我们将使用这个计算公式做输出结果正规化处理的层叫做“Softmax”层。此时的神经网络将变成如下图所示：
四、如何衡量输出的好坏
通过Softmax层之后，我们得到了I，II，III和IV这四个类别分别对应的概率，但是要注意，这是神经网络计算得到的概率值结果，而非真实的情况。
比如，Softmax输出的结果是(90%,5%,3%,2%)，真实的结果是(100%,0,0,0)。虽然输出的结果可以正确分类，但是与真实结果之间是有差距的，一个优秀的网络对结果的预测要无限接近于100%，为此，我们需要将Softmax输出结果的好坏程度做一个“量化”。
一种直观的解决方法，是用1减去Softmax输出的概率，比如1-90%=0.1。不过更为常用且巧妙的方法是，求对数的负数。
还是用90%举例，对数的负数就是：-log0.9=0.046
可以想见，概率越接近100%，该计算结果值越接近于0，说明结果越准确，该输出叫做“交叉熵损失（Cross Entropy Error）”。
我们训练神经网络的目的，就是尽可能地减少这个“交叉熵损失”。
此时的网络如下图：
上面讲述了神经网络的正向传播过程。一句话总结一下：神经网络的传播都是形如Y=WX+b的矩阵运算；为了给矩阵运算加入非线性，需要在隐藏层中加入激活层；输出层结果需要经过Softmax层处理为概率值，并通过交叉熵损失来量化当前网络的优劣。
算出交叉熵损失后，就要开始反向传播了。其实反向传播就是一个参数优化的过程，优化对象就是网络中的所有W和b（因为其他所有参数都是确定的）。
神经网络的神奇之处，就在于它可以自动做W和b的优化，在深度学习中，参数的数量有时会上亿，不过其优化的原理和我们这个两层神经网络是一样的。
神经网络需要反复迭代。
如上述例子中，第一次计算得到的概率是90%，交叉熵损失值是0.046；将该损失值反向传播，使W1,b1,W2,b2做相应微调；再做第二次运算，此时的概率可能就会提高到92%，相应地，损失值也会下降，然后再反向传播损失值，微调参数W1,b1,W2,b2。依次类推，损失值越来越小，直到我们满意为止。
此时我们就得到了理想的W1,b1,W2,b2。
此时如果将任意一组坐标作为输入，利用图4或图5的流程，就能得到分类结果。
从神经网络到卷积神经网络CNN：
神经网络的结构是这样的：
其实卷积神经网络依旧是层级网络，只是层的功能和形式做了变化，可以说是传统神经网络的一个改进。简而言之，卷积神经网络（Convolutional Neural Networks）是一种深度学习模型或类似于人工神经网络的多层感知器，常用来分析视觉图像。
如上图所示CNN的架构可知，卷积神经网络架构与常规人工神经网络架构非常相似，特别是在网络的最后一层，即全连接。此外，还注意到卷积神经网络能够接受多个特征图作为输入，而不是向量。
卷积神经网络的层级结构
1.数据输入层/ Input layer
2.卷积计算层/ CONV layer
3.ReLU激励层 / ReLU layer
4.池化层 / Pooling layer
5.全连接层 / FC layer
1、数据输入层
该层要做的处理主要是对原始图像数据进行预处理，其中包括：
• 去均值：把输入数据各个维度都中心化为0，如下图所示，其目的就是把样本的中心拉回到坐标系原点上。
• 归一化：幅度归一化到同样的范围，如下所示，即减少各维度数据取值范围的差异而带来的干扰，比如，我们有两个维度的特征A和B，A范围是0到10，而B范围是0到10000，如果直接使用这两个特征是有问题的，好的做法就是归一化，即A和B的数据都变为0到1的范围。
• PCA/白化：用PCA降维；白化是对数据各个特征轴上的幅度归一
上图为去均值与归一化效果图
2、卷积计算层
这一层就是卷积神经网络最重要的一个层次，也是“卷积神经网络”的名字来源。
在这个卷积层，有两个关键操作：
局部关联。每个神经元看做一个滤波器(filter)
窗口(receptive field)滑动， filter对局部数据计算
举个例子，取 feature里的（1，1）元素值，再取图像上蓝色框内的（1，1）元素值，二者相乘等于1。把这个结果1填入新的图中。
接下来的工作是对右图九个值求平均，得到一个均值，将均值填入一张新的图中。
这张新的图我们称之为 feature map （特征图）
进行卷积对应相乘运算并求得均值后，滑动窗便开始向右边滑动。根据步长的不同选择滑动幅度。比如，若 步长 stride=1，就往右平移一个像素。
同样，若步长stride=1，向下平移一个像素；stride=2则向下平移2个像素。
feature map是每一个feature从原始图像中提取出来的“特征”。其中的值，越接近为1表示对应位置和feature的匹配越完整，越是接近-1，表示对应位置和feature的反面匹配越完整，而值接近0的表示对应位置没有任何匹配或者说没有什么关联。
一个feature作用于图片产生一张feature map，对这张X图来说，我们用的是3个feature，因此最终产生3个 feature map。
3、非线性激活层
卷积层对原图运算多个卷积产生一组线性激活响应，而非线性激活层是对之前的结果进行一个非线性的激活响应。在神经网络中用到最多的非线性激活函数是Relu函数，它的公式定义如下：
f(x)=max(0,x)
即，保留大于等于0的值，其余所有小于0的数值直接改写为0。
为什么要这么做呢？上面说到，卷积后产生的特征图中的值，越靠近1表示与该特征越关联，越靠近-1表示越不关联，而我们进行特征提取时，为了使得数据更少，操作更方便，就直接舍弃掉那些不相关联的数据。
如下图所示：>=0的值不变，而<0的值一律改写为0
4、池化层
卷积操作后，我们得到了一张张有着不同值的feature map，尽管数据量比原图少了很多，但还是过于庞大（比较深度学习动不动就几十万张训练图片），因此接下来的池化操作就可以发挥作用了，它最大的目标就是减少数据量。
池化分为两种，Max Pooling 最大池化、Average Pooling平均池化。顾名思义，最大池化就是取最大值，平均池化就是取平均值。
拿最大池化举例：选择池化尺寸为2x2，因为选定一个2x2的窗口，在其内选出最大值更新进新的feature map。
最终得到池化后的feature map。可明显发现数据量减少了很多。
因为最大池化保留了每一个小块内的最大值，所以它相当于保留了这一块最佳匹配结果（因为值越接近1表示匹配越好）。这也就意味着它不会具体关注窗口内到底是哪一个地方匹配了，而只关注是不是有某个地方匹配上了。这也就能够看出，CNN能够发现图像中是否具有某种特征，而不用在意到底在哪里具有这种特征。这也就能够帮助解决之前提到的计算机逐一像素匹配的死板做法。