[2019年浙江省省赛] B - Element Swapping 数学推导

题目链接：B - Element Swapping

题意

给你一个长度为n的序列，可能会从序列里选两个数进行交换，交换次数只能为一次，现在我们知道原序列的$x={\sum }_{k=1}^{n}k\ast a_k和y={\sum }_{k=1}^{n}k\ast a_k^2$，以及交换后新序列的每个值，问可能交换的次数。

题解

假设新序列为$a_1,a_2,a_3..a_i,a_{i+1},...a_j,a_{j+1}...a_n$
交换的数为$a_i，a_j$
那么原数列为$a_1,a_2,a_3..a_j,a_{i+1},...a_i,a_{j+1}...a_n$
我们可以列一个方程组

$\{\begin{array}{l}{T}_1={\sum }_{k=1}^{n}k\ast a_k\\ x={\sum }_{k=1}^{n}k\ast a_k(k!=i\&\&k!=j)+i\ast a_j+j\ast a_i\\ T_2={\sum }_{k=1}^{n}k\ast a_k^2\\ y={\sum }_{k=1}^{n}k\ast a_k^2(k!=i\&\&k!=j)+i\ast a_j^2+j\ast a_i^2\end{array}$

可以通过等式相加减得

$\{\begin{array}{l}{T}_1-x=(a_i-a_j)\ast (i-j)\\ T_2-y=(a_i^2-a_j^2)\ast (i-j)\end{array}$

我们发现下面的等式比上面的多乘了一个$(a_i+a_j)$

注意这里的$T_1和T_2$是交换后新序列的值，但有可能题目中给的序列根本无法完成交换，所以我们首先需要判断给的新序列的$T_1和T_2$是否符合条件。

1.如果$(T_1=x\&\&T_2=y)$，说明新序列和原序列相等，那么对于序列里面相同的数字可以互相交换，我们只需统计序列里相同的数字有多少个，然后排列组合就行。
2.如果$(T_1=x)$，分母为0，不符合情况，答案为0。
3.如果$(T_2-y)\%(T_1-x)\ne 0$，说明$(a_i+a_j)$不为整数，不合题意，答案为0。
4.如果$(T_2-y)/(T_1-x)\le 0$，说明$(a_i+a_j)\le 0$，不合题意，答案为0。

基本上判断完这些，我们已经可以确定所给的$T_1和T_2$是符合条件的，剩下的就是去寻找符合交换条件的有多少种情况。

由上面可知
$\{\begin{array}{l}{a}_i+a_j=(T_2-y)/(T_1-x)\\ x-T_1=(a_i-a_j)\ast (j-i)\end{array}$
我们只需寻找有多少个i和j符合上述条件即可。
暴力枚举很明显是不明智的。

我们可以枚举i，那么$a_i、i$以及$a_j$都清楚了，那么$j=(x-T_1)/(a_i-a_j)+i$。
我们只需判断$j是否等于a_j即可$。
注意交换是相互的所以算出的$((x-T_1)/(a_i-a_j)+i)$一定得大于i才行。

代码

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>

using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;

#define pll pair<ll,ll>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
const int pi = acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const int mod=1e9+7;

const int maxn=1e5+10;

int a[maxn];
ll book[maxn];

int main()
{
    
    
	int t; scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
    
    
		memset(book, 0, sizeof(book));
		ll n,x,y; scanf("%lld%lld%lld",&n,&x,&y);
		ll t1=0,t2=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) 
		{
    
    
			scanf("%d",&a[i]);
			t1+=(ll)i*a[i]; t2+=(ll)i*a[i]*a[i];
			book[a[i]]++;
		}
		ll ans=0;
		if(t1-x==0 && t2-y==0)
		{
    
    
			for(int i=1;i<=100000;i++)
				ans+=(book[i]-1)*book[i]/2;
			printf("%lld\n",ans);
			continue;
		}
		if(t1-x==0)
		{
    
    
			printf("0\n");
			continue;
		}
		if((t2-y)%(t1-x))
		{
    
    
			printf("0\n");
			continue;
		}
		long long num=(t2-y)/(t1-x);
		if(num<=0)
		{
    
    
			printf("0\n");
			continue ;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
    
    
			int aj=num-a[i],s=a[i]-aj;
			if(s!=0 && aj>0)
			{
    
    
				int cnt=(x-t1)/s;
				cnt+=i;
				if(cnt>=1 && cnt<=n && cnt>i && a[cnt]==aj) ans++;
			}
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}