[ BAPC 2016 ] Hamming Ellipses 动态规划

题目链接：Hamming Ellipses

题意

给你两个长度为n只包含 [0~q-1] 的字符串s1,s2，定义一个汉明距离：一个新的字符串s3每个字符s3[i]与s1[i],s2[i]不同的个数之和。现在给定一个汉明距离d，问能构造多少个s3使得其与s1,s2的汉明距离为d。

题解

一开始用组合数学的方法去想，但由于情况有点复杂就放弃了。
题中发现（d≤2n，n≤100）发现能用动态规划去求解。

定义
dp[i][j]：以i结尾汉明距离为j的字符串有几种。

状态转移
$s[i]==s2[i]:dp[i][j]=dp[i-1][j]+(q-1)\ast dp[i-1][j-2]$

$s[i]\ne s2[i]:dp[i][j]=2\ast dp[i-1][j-1]+(q-2)\ast dp[i-1][j-2]$

最后答案就是dp[n][d]。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x&-x

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+10;
const int maxm=100+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

char s1[105],s2[105];
ll dp[105][205];
int main()
{
    
    
	int q,n,d;
	scanf("%d%d%d",&q,&n,&d);
	scanf("%s%s",s1+1,s2+1);
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=d;j++)
		{
    
    
			if(s1[i]==s2[i])
			{
    
    
				dp[i][j]=dp[i-1][j];
				if(j>=2) dp[i][j]+=(q-1)*dp[i-1][j-2];
			}
			else
			{
    
    
				if(j>=1) dp[i][j]+=2*dp[i-1][j-1];
				if(j>=2) dp[i][j]+=(q-2)*dp[i-1][j-2];
			}
		}
	printf("%lld\n",dp[n][d]);
}