monotonic queue 单调队列

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引子

POJ 2823 - Sliding Window，对一个长度为$n$的数组，求每个长度为$k(k<=n)$的区间的最小值和最大值。

暴力for可以想到一个$O(NK)$的做法，当然，这篇文章是讲$O(N)$的做法。

队列

设定一个双端队列元素是 { a [ i n d e x ] , i n d e x } \{ a[index],index\} { a[index],index} ，约束每次取到数组第$i$个元素的时候有这样几种情况：

• 当前元素比队尾元素值小，则不断弹出队尾，再把此元素插入。
• 当前元素比队尾元素值大，则直接把此元素插入。

但再这个问题中还有个限制是$k$区间，那么每次插入前我们还需要把队首元素做一次检查，如果与当前下标距离大于$k$ 则不断弹出队首。

至此，当前元素处理完毕后，队列的队首，就是以当前位置为右边界的区间的最小值。

反向思维一下就可以做最大值了。

其他

优化空间

其实很好想到，你有数组了，存下标就够了。

换个问法

除了$O(N)$遍历定长子区间的最值，其实也可以反过来遍历得到最值区间长。

比如问一个数组里，区间最小值不小于x的最大长度是多少。

这时候我们需要的关键信息变成了下标，队首出队条件变成了与x的比较。

第二个理题，牛客多校的那个题就是类似这样的问法，不过更复杂，还要考虑差值。

注意

• STL的deque在实际情况下还是会比较慢，建议用数组模拟一个。

• 单调队列很灵活，常常是作为题目做法的某一步。

例题

POJ 2823 - Sliding Window

int Kase, n, m;

int a[MAXN];
int ans1[MAXN], ans2[MAXN];
deque<int> rMAX, rMIN;

int main() {
    
    
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        cin >> a[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        while (!rMIN.empty() && i - rMIN.front() >= m)
            rMIN.pop_front();
        while (!rMAX.empty() && i - rMAX.front() >= m)
            rMAX.pop_front();

        while (!rMIN.empty() && a[rMIN.back()] > a[i])
            rMIN.pop_back();

        while (!rMAX.empty() && a[rMAX.back()] < a[i])
            rMAX.pop_back();

        if (rMIN.empty() || a[rMIN.back()] <= a[i])
            rMIN.push_back(i);

        if (rMAX.empty() || a[rMAX.back()] >= a[i])
            rMAX.push_back(i);

        if (i >= m) {
    
    
            ans1[i] = a[rMIN.front()];
            ans2[i] = a[rMAX.front()];
        }
    }
    for (int j = m; j <= n; ++j) {
    
    
        cout << ans1[j] << " \n"[j == n];
    }
    for (int j = m; j <= n; ++j) {
    
    
        cout << ans2[j] << " \n"[j == n];
    }
    return 0;
}

牛客883F - Planting Trees 单调队列双指针

参考

Minimum Stack / Minimum Queue

OI Wiki - 单调队列