原题如下：
参考链接：
1、分析法参考题解链接
2、剪枝法参考题解：
“Transform”在上面分析法链接下的评论，未找到链接还请谅解
开始之前，我们需要想明白一个问题，在每位数按位与的时候，只要出现一次0，这一位的结果必定为0，这是本文优化的必经之路。
1、暴力法以及剪枝
这道题乍一看挺简单的，很容易写出O(n-m)复杂度的暴力法，即将[m,n]范围的所有数字都与一遍，如下：
class Solution:
def rangeBitwiseAnd(self, m: int, n: int) -> int:
ret=m
for index in range(m+1,n+1):
ret&=index
return ret
这里有可以改进的地方，
1、当ret==0的时候，以后再与任何数字都是0，可以直接返回0；
2、当较大数n的二进制长于较小数m的二进制时，可以直接返回0，解释如下：
例如1xxxxx和1yy，
（1）从1yy到1xxxx的过程中必定包括10000，这样按位与以后最终结果除最高位外必定为0。
（2）1yy的对应到第五位的高位上的数字为0，因此最高位与的结果也是0。
（3）所以直接返回0即可。
同理，其他所有长度不同的情况按位与以后也是这样。
改进后的代码如下：
class Solution:
def rangeBitwiseAnd(self, m: int, n: int) -> int:
if len(bin(n))>len(bin(m)):
return 0
ret=m
for index in range(m+1,n+1):
ret&=index
if ret==0:
return 0
return ret
2、数学分析法
最重要的是找一个位置，在m和n的二进制数中，从前到后第一个n这个位置为1而m为0的位置。
这个位置之前所有数字相等，这个位置之后按位与的结果必定为0。
为什么按位与的结果为0？
以数字1xx0yy,1xx1zz为例，
1、对于相等的前三位，我们不做处理，因为他们之间的所有数字这三位都相等，按位与之后的结果不会变化。
2、对于后三位数字0yy和1zz，他们之间的所有数字按位与的过程中必定经过100，因此除最高位之外的两个位置按位与之后最终的结果为0，而0yy的最高位为0，所以最后三位按位与之后的结果都为0。
最终返回的数字是1xx000。
下面我们介绍两种找这个位置的办法：
（1）自顶向下：
在m和n的二进制数中，从前到后找第一个不相等的数字比较简单，上代码：
class Solution:
def rangeBitwiseAnd(self, m: int, n: int) -> int:
if len(bin(n))>len(bin(m)):
return 0
m1,n1=bin(m),bin(n)
#ok记录着从前到后相等的位数
for i in range(len(m1)):
#如果前面这些位置相等
if m1[i]!=n1[i]:
return int(m1[:i]+"0"*(len(m1)-i),2)
return m
（2）自底向上
与优化法相同的思路，我们还可以从后往前（自底向上）来找这个位置。
如果说n>m,表示此时的n某个位置是1，而m的位置是0，那么我们利用这个公式：
n&=n-1
来使得n最后一位1为0变为0。
如果n依然大于m，则再利用这个公式，把此时的最后一位1变成0，直到n<=m，返回n即可。
这时候为什么返回n是正确的，我们分情况讨论：
（1）如果n的二进制位数大于m，则n一直到最后，也就是这样：100000…000的时候依然会大于m，继续将最后一个1变为0，则n为0，返回0即可，与自顶向下时对这种情况的讨论相同；
（2）如果n与m二进制位数相等，对于所有n>m的情况，从前到后n一定有一位为1，而m这一位为0，在改掉最前面的符合这个条件的位置之前，n会一直大于m。改掉之后n与m前面的数字都相等，这个位置t就是我们找的位置，此时n前面位置没变，后面位置都已经置为0，返回n即可。
上代码（这是学习大佬的最快也最简洁的方法，只是不太容易理解，笔者可以举几个例子在纸上演算，或者用断点来调，或者查看参考题解学习一下）：
class Solution:
def rangeBitwiseAnd(self, m: int, n: int) -> int:
while n>m:
n&=n-1
return n
3、上述方法之间的比较：
看到这里读者应该发现了，两种方法殊途同归，只是按照笔者思考的过程分类。
（1）其本质都是只要两数的同一位置出现一个1一个0就停止后续的判断，
（2）区别在于暴力法的优化只针对最高位，剪去了位数不同时，最高位n是1，而m是0的情况；
分析法扩大到了从前到后面的每个位置，第一次一个为1一个为0的情况，从而剪掉了后面的判断，提前停止循环。
所以数学分析法应该是更快一些的。
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一点可能的优化，为了不影响读者对方法的理解放在最后，对于真的超级长的数字，
自顶向下的数学分析法可以继续优化：
当前找第一次一个为1一个为0的位置是在for循环中，从前到后遍历来找，其实我们可以通过二分来找：
（1）如果某个位置前的数字相等，表示要找的位置在后面，则left=mid+1；
（2）否则表示我们找的位置在前面，则right=mid-1；
直到找到符合要求的位置。
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